已知定义在(0,+∞)上的函数图象f(x)为单调函数,且f(x)×f(f(x)+1/x)=1,则f(1)=
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/24 11:41:47
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已知定义在(0,+∞)上的函数图象f(x)为单调函数,且f(x)×f(f(x)+1/x)=1,则f(1)=
已知定义在(0,+∞)上的函数图象f(x)为单调函数,且f(x)×f(f(x)+1/x)=1,则f(1)=
已知定义在(0,+∞)上的函数图象f(x)为单调函数,且f(x)×f(f(x)+1/x)=1,则f(1)=
只能求出f(1)的值,无法确定f(x),要想确定,需先给出f(x)的函数类型!
设f(1)=t,则f(1)f[f(1)+1/1]=1,即t*f(t+1)=1,
f(t+1)=1/t
又f(t+1)*f[f(t+1)+1/(t+1)]=1,即1/t*f[1/t+1/(t+1)]=1
即f[1/t+1/(t+1)]=t
又f(1)=t,知f(1)=f[1/t+1/(t+1)],由f(x)是定义在(0,+无穷)上的单调函数知
1/t+1/(t+1)=1
即t^2-t-1=0
解得:t=(1±根号5)/2 (经检验,当t=(1+根号5)/2时,f(x)单减,当t=(1-根号5)/2时,f(x)单增)
由f(x)×f(f(x)+1/x)=1
得f(x)=1/f(f(x)+1/x)
∵在(0,+∞)上的函数图象f(x)为单调函数
若f(x)为增函数,则随X增大f(x)增大,f(f(x)+1/x)减小
故f(x)+1/x≤0
若f(x)为减函数,则随X增大f(x)减小,f(f(x)+1/x)增大
故f(x)+1/x≥0
综上,f(1)≤-1
全部展开
由f(x)×f(f(x)+1/x)=1
得f(x)=1/f(f(x)+1/x)
∵在(0,+∞)上的函数图象f(x)为单调函数
若f(x)为增函数,则随X增大f(x)增大,f(f(x)+1/x)减小
故f(x)+1/x≤0
若f(x)为减函数,则随X增大f(x)减小,f(f(x)+1/x)增大
故f(x)+1/x≥0
综上,f(1)≤-1
f(1)≥-1
故f(1)=-1
收起