在棱长都等于一的三棱锥A-BCD中,F是AC上的一点,过F作平行于棱AB和棱CD的截面,分别叫BC,BD,AD于E,H,G.证明截面EFGH是矩形.F在AC的什么位置时,截面面积最大,说明理由
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/20 13:09:35
![在棱长都等于一的三棱锥A-BCD中,F是AC上的一点,过F作平行于棱AB和棱CD的截面,分别叫BC,BD,AD于E,H,G.证明截面EFGH是矩形.F在AC的什么位置时,截面面积最大,说明理由](/uploads/image/z/11549227-67-7.jpg?t=%E5%9C%A8%E6%A3%B1%E9%95%BF%E9%83%BD%E7%AD%89%E4%BA%8E%E4%B8%80%E7%9A%84%E4%B8%89%E6%A3%B1%E9%94%A5A-BCD%E4%B8%AD%2CF%E6%98%AFAC%E4%B8%8A%E7%9A%84%E4%B8%80%E7%82%B9%2C%E8%BF%87F%E4%BD%9C%E5%B9%B3%E8%A1%8C%E4%BA%8E%E6%A3%B1AB%E5%92%8C%E6%A3%B1CD%E7%9A%84%E6%88%AA%E9%9D%A2%2C%E5%88%86%E5%88%AB%E5%8F%ABBC%2CBD%2CAD%E4%BA%8EE%2CH%2CG.%E8%AF%81%E6%98%8E%E6%88%AA%E9%9D%A2EFGH%E6%98%AF%E7%9F%A9%E5%BD%A2.F%E5%9C%A8AC%E7%9A%84%E4%BB%80%E4%B9%88%E4%BD%8D%E7%BD%AE%E6%97%B6%2C%E6%88%AA%E9%9D%A2%E9%9D%A2%E7%A7%AF%E6%9C%80%E5%A4%A7%2C%E8%AF%B4%E6%98%8E%E7%90%86%E7%94%B1)
在棱长都等于一的三棱锥A-BCD中,F是AC上的一点,过F作平行于棱AB和棱CD的截面,分别叫BC,BD,AD于E,H,G.证明截面EFGH是矩形.F在AC的什么位置时,截面面积最大,说明理由
在棱长都等于一的三棱锥A-BCD中,F是AC上的一点,过F作平行于棱AB和棱CD的截面,分别叫BC,BD,AD于E,H,G.
证明截面EFGH是矩形.F在AC的什么位置时,截面面积最大,说明理由
在棱长都等于一的三棱锥A-BCD中,F是AC上的一点,过F作平行于棱AB和棱CD的截面,分别叫BC,BD,AD于E,H,G.证明截面EFGH是矩形.F在AC的什么位置时,截面面积最大,说明理由
取CD中点M,连结AN,BM,
因各棱=1,故三棱锥是各面均为正三角形的正四面体,
AM⊥CD,BM⊥CD,
CD⊥平面ABM,
AB∈平面ABM,
CD⊥AB,
FE‖AB,FG‖CD,
∴FE⊥FG,
AB‖EF,
EF∈平面ABD,
AB‖平面ABD,
平面FEHG∩平面ABD=GH,
∴EF‖GH,
同理可证FG‖EH,
∴四边形FEHG是平行四边形,
又EF⊥FG,
∴四边形FEHG是矩形.
EF‖AB,三角形CFE是正三角形,EF=CF,
同理AF=FG,
S矩形FEGH=EF*FG=CF*AF,
设CF=x,AF=AC-x=1-x,
S矩形FEGH=x(1-x)=-(x^2-x+1/4-1/4)
=-(x-1/2)^2+1/4,
当x=1/2时有极大值,
故F在AC的中点时截面面积最大.
FG//CD,-->FG//BCD--->FG//EH,
同理,FE//GH,所以FGHE是平行四边形,
因为棱长都等于1,所以A在BCD上的射影O为正三角形BCD的中心,BO垂直CD,BO为AB在BCD上的射影,所以由三垂线定理,CD垂直AB,而FG//CD,FE//AB,所以FG垂直FE,FGHE又是矩形。
AFG相似ACD,FG=AF,同理,EF=CF,
截面...
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FG//CD,-->FG//BCD--->FG//EH,
同理,FE//GH,所以FGHE是平行四边形,
因为棱长都等于1,所以A在BCD上的射影O为正三角形BCD的中心,BO垂直CD,BO为AB在BCD上的射影,所以由三垂线定理,CD垂直AB,而FG//CD,FE//AB,所以FG垂直FE,FGHE又是矩形。
AFG相似ACD,FG=AF,同理,EF=CF,
截面EFGH面积=FG*EF=AF*CF=AF*(1-AF)
根据“两数和为定值,则两数之积有最大值,当且仅当两数相等时,积最大”,
AF=1-AF,AF=1/2,F为AC之中点时,截面面积最大
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