作业帮试证明;任何一个凸多边形的内角中,不能有3个以上是锐角.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 05:41:46
试证明;任何一个凸多边形的内角中,不能有3个以上是锐角.
试证明;任何一个凸多边形的内角中,不能有3个以上是锐角.
试证明;任何一个凸多边形的内角中,不能有3个以上是锐角.
用反证法证：
设在凸多边形中有3个以上是锐角
所以 外角有3个以上是钝角
所以 该多变形不为凸多边形
这与题设不符
所以任何一个凸多边形的内角中,不能有3个以上是锐角.
证明：凸n(n>=3)边形的n个内角和为180(n-2)
设有k个锐角，则剩余k-n个内角和>180(n-2)-90k=180n-360-90k
平均每个内角为180n-360-90k/n-k =90+90*(n-4)/(n-k)
该多边形为凸多边形，故上式<180 得k<4
所以
在一个凸多边形中，它的内角最多可以有3个锐角
假定n边形的n个内角中有超过4个角是锐角，则这4个锐角的度数和小于360°。
因为n边形的内角和为：180°(n-3)＝180°n-270°，所以，另外的n-4个内角和大于180°n-270°-360°＝180°n-630°，平均大于（180°n-630°）/（n-4）＝180°+90°/（n-4），因此，其他的角中必有大于180°的角，这与题中条件矛盾，所以，假定不成立，说明任何一个凸多...
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假定n边形的n个内角中有超过4个角是锐角，则这4个锐角的度数和小于360°。
因为n边形的内角和为：180°(n-3)＝180°n-270°，所以，另外的n-4个内角和大于180°n-270°-360°＝180°n-630°，平均大于（180°n-630°）/（n-4）＝180°+90°/（n-4），因此，其他的角中必有大于180°的角，这与题中条件矛盾，所以，假定不成立，说明任何一个凸多边形的内角中，不能有4锐角。同理可证，任何一个凸多边形的内角中，不能有五个及其以上是锐角。
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