已知PA⊥平面ABC,AC⊥AB,AP=BC=2,∠CBA=30°,D,E分别是BC,AP的中点1.求异面直线AC与ED所成角的大小2.求△PDE绕直线PA旋转一周所构成的旋转体的体积
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/23 15:09:33
![已知PA⊥平面ABC,AC⊥AB,AP=BC=2,∠CBA=30°,D,E分别是BC,AP的中点1.求异面直线AC与ED所成角的大小2.求△PDE绕直线PA旋转一周所构成的旋转体的体积](/uploads/image/z/11945041-25-1.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5PA%E2%8A%A5%E5%B9%B3%E9%9D%A2ABC%2CAC%E2%8A%A5AB%2CAP%3DBC%3D2%2C%E2%88%A0CBA%3D30%C2%B0%2CD%2CE%E5%88%86%E5%88%AB%E6%98%AFBC%2CAP%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%82%B91.%E6%B1%82%E5%BC%82%E9%9D%A2%E7%9B%B4%E7%BA%BFAC%E4%B8%8EED%E6%89%80%E6%88%90%E8%A7%92%E7%9A%84%E5%A4%A7%E5%B0%8F2.%E6%B1%82%E2%96%B3PDE%E7%BB%95%E7%9B%B4%E7%BA%BFPA%E6%97%8B%E8%BD%AC%E4%B8%80%E5%91%A8%E6%89%80%E6%9E%84%E6%88%90%E7%9A%84%E6%97%8B%E8%BD%AC%E4%BD%93%E7%9A%84%E4%BD%93%E7%A7%AF)
已知PA⊥平面ABC,AC⊥AB,AP=BC=2,∠CBA=30°,D,E分别是BC,AP的中点1.求异面直线AC与ED所成角的大小2.求△PDE绕直线PA旋转一周所构成的旋转体的体积
已知PA⊥平面ABC,AC⊥AB,AP=BC=2,∠CBA=30°,D,E分别是BC,AP的中点
1.求异面直线AC与ED所成角的大小
2.求△PDE绕直线PA旋转一周所构成的旋转体的体积
已知PA⊥平面ABC,AC⊥AB,AP=BC=2,∠CBA=30°,D,E分别是BC,AP的中点1.求异面直线AC与ED所成角的大小2.求△PDE绕直线PA旋转一周所构成的旋转体的体积
1.
首先求出DE,
连接AD,PA⊥平面ABC推出,PA⊥AD,所以:
DE²=AE²+AD²=(AP/2)²+(BC/2)²=2
DE=√2
寻找异面直线AC与ED的所成角
平面ABC内,过D做DF‖AC交AB于F,可知:直线AC与ED所成的角,就是直线DF与ED所成的角,即∠EDF,连接EF;
容易求出:DF²=(AC/2)²=1/2;EF²=(PB/2)²=(PA²+AB²)/4=3/2;
DF=√2/2,EF=√6/2
于是,cos∠EDF=(DF²+DE²-EF²)/2DF*DE
=(1/2 +2 -3/2)/2*√2/2*√2
=1/2
所以:∠EDF=60°
异面直线AC与ED所成的角为60°
2.
注意到PA⊥面ABC,那么,△PDE绕直线PA旋转一周所构成旋转体的体积就是:
△PAD绕PA旋转一周旋转体的体积 - △EAD绕PA旋转一周旋转体的体积
=π/3*AD²*PA- π/3*AD²*EA
=π/3*AD²(PA-EA)
AD=BC/2=1,PA-EA=PE=PA/2=1代入上式
体积为:π/3
楼上答案错了。。。。。是arccos 四分之根号二。 (下面根号不清楚)
解(1)解法一:取AB中点F,连接DF,EF,则AC∥DF,
所以∠EDF就是异面直线AC与PB所成的角.
由已知,AC=EA=AD=1 , AB=
3
, PB=
7
,∵AC⊥EF,∴DF⊥EF.
在Rt△EFD中,DF=
...
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楼上答案错了。。。。。是arccos 四分之根号二。 (下面根号不清楚)
解(1)解法一:取AB中点F,连接DF,EF,则AC∥DF,
所以∠EDF就是异面直线AC与PB所成的角.
由已知,AC=EA=AD=1 , AB=
3
, PB=
7
,∵AC⊥EF,∴DF⊥EF.
在Rt△EFD中,DF=
1
2
, ED=
2
,cos∠EDF=
2
4
.
所以异面直线AC与ED所成的角为arccos
2
4
(arctan
7
).
解法二:建立空间直角坐标系,C(1 , 0 , 0) , D (
1
2
,
3
2
, 0),E(0,0,1),
AC
=(1 , 0 , 0 ) ,
ED
=(
1
2
,
3
2
, -1)
PCDEcosθ=
12
2
=
2
4
,
所以异面直线AC与ED所成的角为arccos
2
4
.
(2)△PDE绕直线PA旋转一周所构成的旋转体,是以AD
为底面半径、AP为高的圆锥中挖去一个以AD为底面
半径、AE为高的小圆锥,体积V=
1
3
π•1•2-
1
3
π•1•1=
1
3
π.
分数线不清楚。 见谅。
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