要做一个上下均有底的圆柱形铁桶,规定其体积为V(定值),问底半径多大时,才能使其表面积最小,并求此最小的表面积.如题,是同济高数书上的课后习题.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/22 09:47:14
![要做一个上下均有底的圆柱形铁桶,规定其体积为V(定值),问底半径多大时,才能使其表面积最小,并求此最小的表面积.如题,是同济高数书上的课后习题.](/uploads/image/z/12374770-58-0.jpg?t=%E8%A6%81%E5%81%9A%E4%B8%80%E4%B8%AA%E4%B8%8A%E4%B8%8B%E5%9D%87%E6%9C%89%E5%BA%95%E7%9A%84%E5%9C%86%E6%9F%B1%E5%BD%A2%E9%93%81%E6%A1%B6%2C%E8%A7%84%E5%AE%9A%E5%85%B6%E4%BD%93%E7%A7%AF%E4%B8%BAV%EF%BC%88%E5%AE%9A%E5%80%BC%EF%BC%89%2C%E9%97%AE%E5%BA%95%E5%8D%8A%E5%BE%84%E5%A4%9A%E5%A4%A7%E6%97%B6%2C%E6%89%8D%E8%83%BD%E4%BD%BF%E5%85%B6%E8%A1%A8%E9%9D%A2%E7%A7%AF%E6%9C%80%E5%B0%8F%2C%E5%B9%B6%E6%B1%82%E6%AD%A4%E6%9C%80%E5%B0%8F%E7%9A%84%E8%A1%A8%E9%9D%A2%E7%A7%AF.%E5%A6%82%E9%A2%98%2C%E6%98%AF%E5%90%8C%E6%B5%8E%E9%AB%98%E6%95%B0%E4%B9%A6%E4%B8%8A%E7%9A%84%E8%AF%BE%E5%90%8E%E4%B9%A0%E9%A2%98.)
要做一个上下均有底的圆柱形铁桶,规定其体积为V(定值),问底半径多大时,才能使其表面积最小,并求此最小的表面积.如题,是同济高数书上的课后习题.
要做一个上下均有底的圆柱形铁桶,规定其体积为V(定值),问底半径多大时,才能使其表面积最小,并求此最小的表面积.如题,是同济高数书上的课后习题.
要做一个上下均有底的圆柱形铁桶,规定其体积为V(定值),问底半径多大时,才能使其表面积最小,并求此最小的表面积.如题,是同济高数书上的课后习题.
设底圆半径为R,高为h
则 V=Pi*R*R*h
h=V/(Pi*R*R)
设表面积为S
则 S=2*Pi*R*R+2*Pi*R*h
=2*Pi*R(R+h)
将h=V/(Pi*R*R)代入上式,得到
S=2*Pi*R[R+V/(Pi*R*R)]
=2*Pi*R*R+2*V/R
这样,S就可以表示为关于R的函数,R的取值范围为(0,+无穷),上式对R取一阶导数得到:
S'=4*Pi*R-2*V/(R*R)
因为要找S的极值点,故令
S'=4*Pi*R-2*V/(R*R)=0
解得:
R=3次根号下[V/(2*Pi)]
此时
S=2*Pi*R*R+2*V/R
=3*3次根号下(2*Pi*V*V)
设底面半径为r高为h,由题意得,V=sh=πr^2h,所以 h=V/(πr^2)
表面积S=2s底+s侧=2πr^2+2πrh=2πr^2+2πrV/(πr^2)=2πr^2+(2V/r)
=2πr^2+(V/r)+(V/r)
≥3倍的三次根号下(2πr^2)*(V/r)*(V/r)=3倍的三次根号下2πV^2
全部展开
设底面半径为r高为h,由题意得,V=sh=πr^2h,所以 h=V/(πr^2)
表面积S=2s底+s侧=2πr^2+2πrh=2πr^2+2πrV/(πr^2)=2πr^2+(2V/r)
=2πr^2+(V/r)+(V/r)
≥3倍的三次根号下(2πr^2)*(V/r)*(V/r)=3倍的三次根号下2πV^2
当且仅当2πr^2=V/r 即r=三次根号下V/2π时等号成立
此最小的表面积为3倍的三次根号下2πV^2
收起