RT△ABC中,斜边BC为m,以BC中点O为圆心,作半径n(n<m/2)的圆,分别交BC于P,Q两点.RT△ABC中,斜边BC为m,以BC的中点o为圆心,作半径n(n<m/2)的圆,分别交BC于点P,Q两点,求证:│AP│^2+│AQ│^2+│PQ│^2是定值.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/22 06:02:30
![RT△ABC中,斜边BC为m,以BC中点O为圆心,作半径n(n<m/2)的圆,分别交BC于P,Q两点.RT△ABC中,斜边BC为m,以BC的中点o为圆心,作半径n(n<m/2)的圆,分别交BC于点P,Q两点,求证:│AP│^2+│AQ│^2+│PQ│^2是定值.](/uploads/image/z/12683615-23-5.jpg?t=RT%E2%96%B3ABC%E4%B8%AD%2C%E6%96%9C%E8%BE%B9BC%E4%B8%BAm%2C%E4%BB%A5BC%E4%B8%AD%E7%82%B9O%E4%B8%BA%E5%9C%86%E5%BF%83%2C%E4%BD%9C%E5%8D%8A%E5%BE%84n%28n%EF%BC%9Cm%2F2%29%E7%9A%84%E5%9C%86%2C%E5%88%86%E5%88%AB%E4%BA%A4BC%E4%BA%8EP%2CQ%E4%B8%A4%E7%82%B9.RT%E2%96%B3ABC%E4%B8%AD%2C%E6%96%9C%E8%BE%B9BC%E4%B8%BAm%2C%E4%BB%A5BC%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%82%B9o%E4%B8%BA%E5%9C%86%E5%BF%83%2C%E4%BD%9C%E5%8D%8A%E5%BE%84n%28n%EF%BC%9Cm%2F2%29%E7%9A%84%E5%9C%86%2C%E5%88%86%E5%88%AB%E4%BA%A4BC%E4%BA%8E%E7%82%B9P%2CQ%E4%B8%A4%E7%82%B9%2C%E6%B1%82%E8%AF%81%3A%E2%94%82AP%E2%94%82%5E2%2B%E2%94%82AQ%E2%94%82%5E2%2B%E2%94%82PQ%E2%94%82%5E2%E6%98%AF%E5%AE%9A%E5%80%BC.)
RT△ABC中,斜边BC为m,以BC中点O为圆心,作半径n(n<m/2)的圆,分别交BC于P,Q两点.RT△ABC中,斜边BC为m,以BC的中点o为圆心,作半径n(n<m/2)的圆,分别交BC于点P,Q两点,求证:│AP│^2+│AQ│^2+│PQ│^2是定值.
RT△ABC中,斜边BC为m,以BC中点O为圆心,作半径n(n<m/2)的圆,分别交BC于P,Q两点.
RT△ABC中,斜边BC为m,以BC的中点o为圆心,作半径n(n<m/2)的圆,分别交BC于点P,Q两点,求证:│AP│^2+│AQ│^2+│PQ│^2是定值.
RT△ABC中,斜边BC为m,以BC中点O为圆心,作半径n(n<m/2)的圆,分别交BC于P,Q两点.RT△ABC中,斜边BC为m,以BC的中点o为圆心,作半径n(n<m/2)的圆,分别交BC于点P,Q两点,求证:│AP│^2+│AQ│^2+│PQ│^2是定值.
先给分、
将中点O设为原点,BC在X轴上,根据题意,可知P点为(n,0), Q点为(-n, 0);
设A为(a,b), 则有,
IAPI^2=(a-n)^2+b^2;
IAQI^2=(a+n)^2+b^2;
IPQI^2=4n^2;
三式相加得,IAPI^2+IAQI^2+IPQI^2=2a^2+2b^2+6n^2; (1)
又由于AO=m/2(直角三角形底边...
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将中点O设为原点,BC在X轴上,根据题意,可知P点为(n,0), Q点为(-n, 0);
设A为(a,b), 则有,
IAPI^2=(a-n)^2+b^2;
IAQI^2=(a+n)^2+b^2;
IPQI^2=4n^2;
三式相加得,IAPI^2+IAQI^2+IPQI^2=2a^2+2b^2+6n^2; (1)
又由于AO=m/2(直角三角形底边的中线等于底边的一半),可得a^2+b^2=(m^2)/4; 代入(1)式,得:
IAPI^2+IAQI^2+IPQI^2=(m^2)/2+6n^2;(2)
检验:当n=m/2时,(2)式=2m^2,(符合勾股定理);
当n=0时,(2)式=(m^2)/2,(符合中线平方的2倍);所以(2)式正确,得解。
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