点P是边长为1的等边三角形ABC内任意一点,连接PA、PB、PC,求证:√3≤PA+PB+PC＜2

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 19:28:59
点P是边长为1的等边三角形ABC内任意一点,连接PA、PB、PC,求证:√3≤PA+PB+PC＜2

点P是边长为1的等边三角形ABC内任意一点,连接PA、PB、PC,求证:√3≤PA+PB+PC＜2
点P是边长为1的等边三角形ABC内任意一点,连接PA、PB、PC,求证:√3≤PA+PB+PC＜2

点P是边长为1的等边三角形ABC内任意一点,连接PA、PB、PC,求证:√3≤PA+PB+PC＜2
过P点作BC边的平行线EF,分别交AB、AC于E、F ．
∵ΔABC为等边三角形,
∴∠AFE＝∠ABC＝60°,
又∵∠APE＞∠AFE,∴∠APE＞60°．
在ΔAEP中,∵∠APE＞∠AEP,∴AE＞AP．
∵ΔAEF为等边三角形,∴AE＝EF＝AF．
∵AE＞AP,BE＋EP＞BP,PF＋FC＞PC,
∴AE＋(EB＋EP)＋(PF＋FC)＞AP＋PB＋PC,
即AB＋EF＋FC＞PA＋PB＋PC,
∴PA＋PB＋PC＜AB＋AC＝2AB=2
这题可以引伸一个很著名的定理:
P是任意三角形ABC内一点,则当∠APB=∠BPC=∠APC=120`时PA+PB+PC达到最小值.
我简单证明一下:
将三角形APC绕C点顺时针旋转60`的三角形A'P'C
因为 ∠PCP'=60`,PC=P'C
所以 PP'C为等边三角形 ,PC=P'C=PP'
又 ∠BPC+∠P'PC=180`=∠P'PC+∠CP'A'
所以 B,P,P',A,共线
于是 BA'=PB+PA+PC在此时达到最小值
回到此题,问题中的正三角形是让你计算L(min)
当P是正三角形重心时(三线合一)L=PA+PB+PC最小
易求此时L=根号3
故根号3≤L

P是边长为1的等边三角形ABC内的任意一点,求证：AP+BP+CP P是边长为1的等边三角形ABC内的任意一点,求证：AP+BP+CP 点P是边长为1的等边三角形ABC内任意一点,连接PA、PB、PC,求证:√3≤PA+PB+PC＜2 已知：如图,等边三角形的边长为1,求三角形内任意一点P到ABC三点的距离之和的最小值 已知：如图,等边三角形的边长为1,求三角形内任意一点P到ABC三点的距离之和的最小值 P是边长为1的等边三角形ABC内任意一点,设T=PA+PB+PC,求证1.5小于T小于2 设P是等边三角形ABC内的任意一点,求证；P到等边三角形三条边距离之和为定值 谁知道等边三角形内任意一点到三个顶点的距离和小于两边之和P是边长为 a的等边三角形ABC内任意一点,证明PA+PB+PC〈2a.我证了好久不会 谁知道等边三角形内任意一点到三个顶点的距离和小于两边之和P是边长为 a的等边三角形ABC内任意一点,证明PA+PB+PC〈2a.我证了好久不会 等边三角形ABC内有一点P,点P到3点距离分别为1、2、3,该等边三角形边长为a,这三角形ABC面积为? 已知等边三角形的边长为6,p是三角形ABC内任意一点,PD//AB,PE//BC,PF//AC.求证PD+PE+PF值不变. 等边三角形ABC的边长为a,则三角形ABC内任一点P到 三边的距离之和为. △ABC三边长为a,b,c,点P为△ABC内任意一点,且P到BC,CA,AB距离为x,y,z.求证ax+by+cz的值与P的位置无关△ABC没有说明是不是等边三角形或等腰三角形.a,b,c不确定是哪一边的长.图:http://hiphotos.baidu.com/%D3% 一已知等边三角形ABC的边长为a,O是等边三角形内任意一点,OD,OE,OF分别垂直等边三角形三边,垂足分别为D,E,F`求证：AD+BE+CF=二分之根号三a 已知：如图,三角形ABC是边长为3cm的等边三角形,动点P, 如图,已知三角形ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P、Q 初二的难度数学题,请高手来帮忙解答!请高手们写好过程! 并最好打竖写! 请尽快回答,谢谢!如图,△ABC是边长为4cm的等边三角形,P是△ABC内任意一点,过点P作EF//AB分别交AC、BC于点E、F,作GH//BC分 设等边三角形ABC一边上的高为h,P是等边三角形ABC内任意一点,PE垂直于AC于E,PD垂直于BC于D,PF垂直于AB于F.求证：PE+PF+PD=h.