大学导数问题f(x)在[a,b]上一阶可导,在(a,b)上二阶可导,f(a)=f(b)=0,f'(x)在a,b处同号,证明存在t∈(a,b)使得f''(t)+2f'(t)+f(t)=0
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/25 10:18:44
![大学导数问题f(x)在[a,b]上一阶可导,在(a,b)上二阶可导,f(a)=f(b)=0,f'(x)在a,b处同号,证明存在t∈(a,b)使得f''(t)+2f'(t)+f(t)=0](/uploads/image/z/13414848-24-8.jpg?t=%E5%A4%A7%E5%AD%A6%E5%AF%BC%E6%95%B0%E9%97%AE%E9%A2%98f%28x%29%E5%9C%A8%5Ba%2Cb%5D%E4%B8%8A%E4%B8%80%E9%98%B6%E5%8F%AF%E5%AF%BC%2C%E5%9C%A8%28a%2Cb%29%E4%B8%8A%E4%BA%8C%E9%98%B6%E5%8F%AF%E5%AF%BC%2Cf%28a%29%3Df%28b%29%3D0%2Cf%27%28x%29%E5%9C%A8a%2Cb%E5%A4%84%E5%90%8C%E5%8F%B7%2C%E8%AF%81%E6%98%8E%E5%AD%98%E5%9C%A8t%E2%88%88%28a%2Cb%29%E4%BD%BF%E5%BE%97f%27%27%28t%29%2B2f%27%28t%29%2Bf%28t%29%3D0)
大学导数问题f(x)在[a,b]上一阶可导,在(a,b)上二阶可导,f(a)=f(b)=0,f'(x)在a,b处同号,证明存在t∈(a,b)使得f''(t)+2f'(t)+f(t)=0
大学导数问题
f(x)在[a,b]上一阶可导,在(a,b)上二阶可导,f(a)=f(b)=0,f'(x)在a,b处同号,证明
存在t∈(a,b)使得f''(t)+2f'(t)+f(t)=0
大学导数问题f(x)在[a,b]上一阶可导,在(a,b)上二阶可导,f(a)=f(b)=0,f'(x)在a,b处同号,证明存在t∈(a,b)使得f''(t)+2f'(t)+f(t)=0
1、先证f(x)至少有第三个零点
由于f '(x)在a,b处同号,不防设f '(x)在a,b处为正
由f '(a)>0,且f '(x)连续,则存在a的右邻域,使得在此邻域内,f '(x)>0,
即在此邻域内,函数单调增,因此存在c>a,使得f(c)>f(a)=0
同理:由f '(b)>0,且f '(x)连续,则存在b的左邻域,使得在此邻域内,f '(x)>0,
即在此邻域内,函数单调增,因此存在d
下面的ex是e的x次方
构造函数F(x)=f(x)*ex F'(x)=【f'(x)+f(x)】*ex F''(x)=【f''(x)+2f'(x)+f(x)】*ex
用反证法证明(a,b)中必存在c使得f(c)=0
若不存在,则f'(x)在a,b处异号,与条件矛盾
则必有F(a)=F(b)=F(c)=0
分别在(a,b),(a,c)对F(x)使用罗尔定...
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下面的ex是e的x次方
构造函数F(x)=f(x)*ex F'(x)=【f'(x)+f(x)】*ex F''(x)=【f''(x)+2f'(x)+f(x)】*ex
用反证法证明(a,b)中必存在c使得f(c)=0
若不存在,则f'(x)在a,b处异号,与条件矛盾
则必有F(a)=F(b)=F(c)=0
分别在(a,b),(a,c)对F(x)使用罗尔定理,存在m,n,F'(m)=0,F‘(n)=0
对F'(x)再用一次罗尔定理,存在t∈(m,n),使得F''(t)=【f''(t)+2f'(t)+f(t)】ex=0
故存在t∈(a,b)使得f''(t)+2f'(t)+f(t)=0
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