数值计算中如何判断有效数字的位数?

数值计算中如何判断有效数字的位数?
数值计算中如何判断有效数字的位数?

数值计算中如何判断有效数字的位数?
我参照了《计算方法与实习》 孙志忠 吴宏伟（第四版）中关于 有效数字的说明：里面定义了,如果近似值x的误差限是其某一位上的半个单位,且该位直到x的第1位非零数字一共n位,则称近似值x有n位有效数字.比如sqrt(3),取3位有效数字是1.73；取5位是1.7321（注意是要四舍五入的,这样可以满足以上的要求）.
简单的说,就是遇到普通的数字就从左边第一个非0数字算起,数到最后一个数字.比如,
-0.00200是3位有效数字.
遇到科学计数法时候,注意只要像数普通数字一样数前面的乘数即可,后面的10的次方不用考虑.
比如9*10^6,有效数字就是1位.
给出一个无穷小数,让你取n位有效数字与判断一个数字是几位有效数字是有差异的,希望你能体会下我给出的三个例子.

本制度系根据药典“凡例”和国家标准《数值修约规程》制订，适用于药检工作中除生物检定统计法以外的各种测量或计算而得的数值。 >)8\x1c<\x06d3\x1fm
1 有效数字的基本概念 \x1f-/LB-\x1ft\x01\x19
1.1 有效数字系指在药检工作中所能得到有实际意义的数值。其最后一位数字欠准是允许的，这种由可靠数字和最后一位不确定数字组成的数值，即为有...

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本制度系根据药典“凡例”和国家标准《数值修约规程》制订，适用于药检工作中除生物检定统计法以外的各种测量或计算而得的数值。 >)8\x1c<\x06d3\x1fm
1 有效数字的基本概念 \x1f-/LB-\x1ft\x01\x19
1.1 有效数字系指在药检工作中所能得到有实际意义的数值。其最后一位数字欠准是允许的，这种由可靠数字和最后一位不确定数字组成的数值，即为有效数字。最后一位数字的欠准程度通常只能是上下差1单位。 \x08ur JR\x19[$p
1.2 有效数字的定位 是指确定欠准数字的位置，这个位置确定后，其后面的数字均为无效数字。欠准数字的位置可以是十进位的任何位数，用10n来表示：n可以是正整数，如n=1、10n=10，n=2、102=100，……;n也可以是负数，如n=－1、10－1=0．1，n=－2、10－2=0．01，………………。 ,nGZ( E\x1aBD
1.3 有效位数 \x1eTL\x07\x06T6\x0fz[
1.3.1 在没有小数位且以若干个零结尾的数值中，有效位数系指从非零数字最左一位向右数得到的位数减去无效零(即仅为定位用的零)的个数。例如35000中若有两个无效零，则为三位有效位数，应写作350×102；若有三个无效零，则为两位有效位数，应写作35×103。 m\x0f\x1e\x06=qyP\x14Y
1.3.2 在其它十进位数中，有效数字系指从非零数字最左一位向右数而得到的位数。例如3.2、0.32、0.032和0.0032均为两位有效位数，0.0320为三位有效位数、10.00为四位有效位数，12.490为五位有效位数。 3&\x045Ab\x08IZ
1.3.3 非连续型数值(如个数、分数、倍数、名义浓度或标示量)是没有欠准数字的，其有效位数可视为无限多位；常数π，e和系数√2等数值的有效位数也可视为是无限多位。例如分子式“H2S04”中的“2”和“4”是个数，含量测定项下“每lml的×××××滴定液(0．1mol／L)”中的“1”为个数，“0.1”为名义浓度，其有效位数均为无限多位；规格项下的“0.38”或“lml∶25mg”中的“0.3”、“1”和“25”的有效位数也均为无限多位。即在计算中，其有效位数应根据其他数值的最少有效位数而定。 \x04P\x19.'\x17\x0f$L\
1.3.4 pH值等对数值，其有效位数是由其小数点后的位数决定的，其整数部分只表明其真数的乘方次数。PH=11.26(＋>=5.5×10－12mol／L)，其有效位数只有两位。 Z1\x1fsRLk\x0fR^
1.3.5 有效数字的首位数字为8或9时，其有效位数可以多计一位。例如85％与115%，都可以看成是三位有效位数；99.0%与101.0%都可以看成是四位有效数字。 \x18\x1c\x07<\x1d\x1b59G
2 数值修约及其进舍规则 i?IV"*Ob1N
2.1 数值修约 是指对拟修约数值中超出需要保留位数时的舍弃，根据舍弃数字保留最后一位数或最后几位数。 ]Ag{#GJ\x0e5D
2.2 修约间隔 是确定修约保留位数的一种方式。修约间隔的数值一经确定，修约值即应为该数值的整数倍。例如指定修约间隔为0.1，修约值即应在0.1的整数倍中选取，也就是说，将数值修约到小数点后一位。 k?\x15`Q\x01\x03\x15\x18\
2.3 确定修约位数的表达方式 \x112/R\x1aW(U\x13
2.3.1 指定数位 T74\x1d.\x06"Lo#
2.3.1.1 指定修约间隔为10－n(n为正整数)，或指明将数值修约到小数点后n 位。 u\x1f!9b\x13hL`
2.3.1.2 指定修约间隔为1，或指明将数值修约到个数位。 Vo(V<2lw}\x06
2.3.1.3 指定修约间隔为10n (n为正整数)．或指明将数值修约到10n数位，或指明将数值修约到‘十”、“百”“千”…………数位。 \x04MB3 N3,yL
2.3.2 指定将数值修约成n位有效位数(n为正整数)。 \x1a q a\x15}=\x0ep
2.4 进舍规则 \x05T8\x1f\%+3e.
2.4.1 拟舍弃数字的最左一位数字小于5时，则舍去，即保留的各位数字不变。 ]R6Z(^XT,E
例1 将12.1498修约到一位小数，得12.1。 g\x0e\x16]\x13.v\x08\x13
例2 将12.1498修约成两位有效位数，得12。 \x1b\x03XaR(\x12~2\x02
2.4.2 拟舍弃数字的最左一位数字大于5，或者是5，而其后跟有并非全部为0的数字时，则进一。即在保留的末位数字加1。 Eum\x16dv#\x14Qg
例1 将1268修约到百数位，得13×102。 kJ:z\x1fMV\x03\x1eN
例2 将1268修约到三位有效位数，得127×10。 \x042mVLR;s{_
例3 将10.502修约到个数位，得11。 2\x1d\x15\x11Ik@L\x13,
2.4.3 拟舍弃数字的最左一位数字为5，而右面无数字或皆为0时，若所保留的末位数为奇数(1，3，5，7，9)则进——，为偶数(2，4，6，8，0)则舍弃。 \x05.W q\x07\x1f\x13\x07"
例1 修约间隔为0.1(或10－1) ?\x0fjR\x16yw(Q\x0e
拟修约数值 修约值 +jp\x03C%o}C
1.050 1.0 S\x10\x01\x13K_i 3?
0.350 0.4 1\x1dO]\x1b\x0727"9
例2 修约间隔为1000(或10‘) J>Uzd\x07, \x03/
拟修约数值 修约值 \x06+:\x0f oD\x03?h
2500 2×103 =#c?g Wb56
3500 4×103 !.ot&E\x06bE\x01
例3 将下列数字修约成两位有效位数 \x0f^v\x11].m\x18V/
拟修约数值 修约值 &i~AXN\x0fw\x1d\x0f
0.0325 0.032 "wPFQ\x07\x07X\x11U
32500 32×103 6\x11QOdd 6_d
2.4.4 不许连续修约 拟修约数字应在确定修约位数后一次修约获得结果，而不得多次按前面规则(2.4.1—2.1.3)连续修约。 \x0f\x11 例 修约15.4546，修约间隔为l <(Wa8P\x13Y2(
正确的做法为：15.4546—15； \x0f.wD>0Ig
不正确的做法为：15.4546→15.455→15.46→15.5→16。 }\x04V3\x1fp\x1f <\x11
2.4.5 为便于记忆，上述进舍规则可归纳成下列口诀：四舍六入五考虑。五后非零则进一，五后全零看五前，五前偶舍奇进一，不论数字多少位，都要一次修约成。但在按英美、日药典方法修约时，按四舍五入进舍即可。 \x1b S< 3 运算规则 在进行数学运算时，对加减法和乘除法中有效数字的处理是不同的： HlB'yO\x1fHv!
3.1 许多数值相加减时，所得和或差的绝对误差必较任何一个数值的绝对误差大，因此相加减时应以诸数值中绝对误差最大(即欠准数字的位数最大)的数值为准，确定其它数值在运算中保留的位数和决定计算结果的有效位数。 ,XW\x1d6W&vR;
3.2 许多数值相乘除时，所得积或商的相对误差必较任何一个数值的相对误差大。因此相乘除时应以诸数值中相对误差最大(即有效位数最少)的数值为准，确定其它数值在运算中保留的位数和决定计算结果的有效位数。 bu\x1fRXz\x1aSR\x02
3.3 在运算过程中，为减少舍入误差，其它数值的修约可以暂时多保留一位，等运算得到结果时，再根据有效位数弃去多余的数字． \x0e:YB:)wV,P
例1 13.65+0.00823+1.633=? M%:A\x1bCLYP
本例是数值相加减，在三个数值中13.65的绝对误差最大，其最末一位数为百分位(小数点后二位)，因此将其它各数均暂先保留至千分位，即把0.00823修约成0.008，1.633不变，进行运算： kRskeMr:Rd
13.65+0.008+1.633=15.291 Z\x\x04R+\x1f3\x1b
最后对计算结果进行修约，15．291应只保留至百分位，而修约成15．29。 @\x06\x134h\x16 \x1b.?
例2 14.131×0.07654÷0.78=? ~\x16,Q+\x19E8
本例是数值相乘除，在三个数值中，0．78的有效位数最少，仅为两位有效位数，因此各数值均应暂保留三位有效位数进行运算，最后结果再修约为两位有效位数。 i\x13}RxT\x07mG<
14.131×0.07654÷0.78 @\x126\x12ZQ\x05kX/
=14.1×0.0765÷0.78 J\x13}\x10KATpHs
=1.08÷0.78 >\x04t?;*K\x"
=1.38 +=Cr\x17\x03fvt
=1.4 //>f#8\x1fHo\x13
例3 计算氧氟沙星(C：。HDI>r4，04)的分于量。 (<(8(} \x13\x10x
在诸元素的乘积中，原子数的有效位数可视作无限多位，因此可根据各原子量的有效位数对乘积进行定位；而在各乘积的相加中，由于药品典规定分子量的数值保留到小数点后两位，因此应将各元素的乘积修约到千分位(小数点后三位)后进行相加；再将计算结果修约到百分位，即得。 \x15(m=-oQ&Ro
12.011×18+1.00794×20+18.9984032+14.006747×3+15.9994×4 P$\x18\x08N\o@
=216.20+20.1588+18.9984032+42.026241+63.9976 3uz@J\x14Y"mK
=216.20+20.159+18.998+42.020+63.998 \x12F.?^ko\x179d
=361.375 gE0k|Z(RF
=361.38 \x08\x0e\x10\x06^|\x1aOf
4 注意事项 :xm,\x1c \x04\x1dOk
4.1 正确记录检测所得的数值。应根据取样量、量具的精度、检测方法的允许误差和标准中的限度规定，确定数字的有效位数，检测值必须与测量的准确度相符合，记录全部准确一位欠准数字。 weU'3n\x0e\x10NN
4.2 正确掌握和运用规则。不论是何种办法进行计算，都必须执行进舍规则和运算规目计算器进行计算，也应将计算结果经修约后再记录下来。 9sFZ\x0es]\x06uM
4.3 要根据取样的要求，选择相应的量具。 &\x04{\x07]\x14z\x01L\x17
4.3.1“精密称定”系指称重要准确到所取重量的0.1％，可选用分析天平或半微量分析天平“精密量取”应选用符合国家标准的移液管；必要时应加校正值。 \x1e1\=)b< \x06y
4.3.2取样量为“约XX”时，系指取用量不超过规定量的(100±10)%。 6.AS\x1b\x1bLH3#
4.3.3取样量的精度未作特殊规定时，应根据其数值的有效位数选用与之相应的量苏定量取5ml、5.0ml或5.00ml时，则应分别选用5～l0ml的量筒、5～l0ml的刻度吸管或5ml的移液管进行量取。 <\x14k\x1eN4@bd;
4.4 在判定药品质量是否符合规定之前，应将全部数据根据有效数字和数值修约规则算，并将计算结果修约到标准中所规定的有效位数，而后进行判定。 =J\x01&\x18vr\x0f
例 异戊巴比妥钠的干燥失重，规定不得过4.0％，今取样1.0042g，干燥后减失重量0.0408g，请判定是否符合规定? e;GL\x0fPB\x1a \x14
本例为3个数值相乘除，其中0.0408的有效位数最少，为三位有效数字，以此为准。 \x129E5Ec~l
1. 0408÷1.004X100.0％=4.064％ As }:~Jy|\x13
因药品典规定的限度为不得过4.0％，故将计算结果4.064％修约到千分位为4.1％，大于4.0%。应判为不符合规定(不得大于4.0%)。 Z0uo. H@.N
可因本例规定限度4.0％的有效位数为两位，故在计算过程中可暂多保留一位(即保有三位效数字)。 @M\x08-i$ q[4
0.0408÷1.00×100％=4.08％ \x023\x10tzb\x1a@T\x08
再将结果修约成两位有效数字得4.1％，大于规定的限度4.0％，应判为不符合规定。将上述规定的限度改为“不得大于4％”，而其原始数据不变则 tj\x0e$&\x0f8\x02\x089
0.041÷1.0×100％=4.1％ N3dS\x16\x19%F,_
再修约成一位有效位数得4％，未超过4％的限度，则应判为符合规定(不得大于4％)。

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