作业帮1.球的半径为r,求其内接四面体的体积.2.一个四面体的四个面的面积是S,体积为V,在四面体内任取一点P,P到各个面的距离分别是h1,h2,h3和h4,求证：h1＋h2＋h3＋h4是定值3.正三棱锥S-ABC的侧面是边长
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 21:50:41
1.球的半径为r,求其内接四面体的体积.2.一个四面体的四个面的面积是S,体积为V,在四面体内任取一点P,P到各个面的距离分别是h1,h2,h3和h4,求证：h1＋h2＋h3＋h4是定值3.正三棱锥S-ABC的侧面是边长
1.球的半径为r,求其内接四面体的体积.
2.一个四面体的四个面的面积是S,体积为V,在四面体内任取一点P,P到各个面的距离分别是h1,h2,h3和h4,求证：h1＋h2＋h3＋h4是定值
3.正三棱锥S-ABC的侧面是边长为a的正三角形,D,E分别是SA与BC的中点,求△SDE绕SE旋转一周所得旋转体的体积
1.球的半径为r,求其内接四面体的体积.2.一个四面体的四个面的面积是S,体积为V,在四面体内任取一点P,P到各个面的距离分别是h1,h2,h3和h4,求证：h1＋h2＋h3＋h4是定值3.正三棱锥S-ABC的侧面是边长
设正四面体棱长为a,顶点为A,高为AM,球心为O.
则有AM^2=[(√3a)/2]^2-[(√3a)/6]^2
得AM=AO+OM=R+OM=(2a√6)/6①
有OM/R=1/3②
由①②
a=4R/(a√6)
又因为可求底面S=[（√3)/4]*a^2
v=(1/3)*S底面*AM=(√2)/12a^3
∴所求其内接正四面体体积v={(8√3/27]*R^3
∵四面体的四个面积都是S,连接点P与四个顶点
则形成四个形状不定的四面体
又∵底面面积为S,高分别为h1,h2,h3,h4的四面体
四个四面体的体积分别是1/3Sh1,1/3Sh2,1/3Sh3,1/3Sh4
∵总体积V不变,
∴总和＝1/3S(h1+h2+h3+h4)=V
则S,V是定值
∴h1+h2+h3+h4是定值
如图,
连接AE,
由题意得AE=SE,又D是AS的中点,所以DE⊥AS
又E是BC的中点,所以SE⊥BC
SE=√(SB^2-BE^2)=(√3)a/2
DE=√(SE^2-SD^2)=(√2)a/2
作DF⊥SE,垂足为F,
则 DF*SE=SD*DE,所以DF=(√6)a/6,
则所求旋转体的体积：
V=1/3*πDF^2*(SF+FE)=(√3)a^3π/36,