在三角形abc中,BM和CN是中线,D是BC边上任一点作DE∥BM,DF∥CN,分别和AC,AB交于E,F两点,线段EF和中线BM,CN分别相交于P,Q两点,求证:EP=PQ=QE.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/21 08:54:16
![在三角形abc中,BM和CN是中线,D是BC边上任一点作DE∥BM,DF∥CN,分别和AC,AB交于E,F两点,线段EF和中线BM,CN分别相交于P,Q两点,求证:EP=PQ=QE.](/uploads/image/z/14601052-28-2.jpg?t=%E5%9C%A8%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2abc%E4%B8%AD%2CBM%E5%92%8CCN%E6%98%AF%E4%B8%AD%E7%BA%BF%2CD%E6%98%AFBC%E8%BE%B9%E4%B8%8A%E4%BB%BB%E4%B8%80%E7%82%B9%E4%BD%9CDE%E2%88%A5BM%2CDF%E2%88%A5CN%2C%E5%88%86%E5%88%AB%E5%92%8CAC%2CAB%E4%BA%A4%E4%BA%8EE%2CF%E4%B8%A4%E7%82%B9%2C%E7%BA%BF%E6%AE%B5EF%E5%92%8C%E4%B8%AD%E7%BA%BFBM%2CCN%E5%88%86%E5%88%AB%E7%9B%B8%E4%BA%A4%E4%BA%8EP%2CQ%E4%B8%A4%E7%82%B9%2C%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9AEP%3DPQ%3DQE.)
在三角形abc中,BM和CN是中线,D是BC边上任一点作DE∥BM,DF∥CN,分别和AC,AB交于E,F两点,线段EF和中线BM,CN分别相交于P,Q两点,求证:EP=PQ=QE.
在三角形abc中,BM和CN是中线,D是BC边上任一点作DE∥BM,DF∥CN,分别和AC,AB交于E,F两点,线段EF和中线BM,CN分别相交于P,Q两点,求证:EP=PQ=QE.
在三角形abc中,BM和CN是中线,D是BC边上任一点作DE∥BM,DF∥CN,分别和AC,AB交于E,F两点,线段EF和中线BM,CN分别相交于P,Q两点,求证:EP=PQ=QE.
应该是求证:FP=PQ=QE.
[证明]
令BD=x、DC=y.
∵DF∥CN,∴BF/FN=BD/DC=x/y,∴可设BF=mx、FN=my.
∵BA=2BN,∴BA=2(BF+FN)=2m(x+y),∴BA/BF=2(x+y)/x.
∵DE∥BM,∴CE/ME=DC/BD=y/x,∴可设ME=nx、CE=ny.
∵MA=CM,∴MA=CE+EM=n(x+y),∴ME/MA=x/(x+y).
对△AFE来说,由梅内劳斯定理,有:(ME/MA)(BA/BF)(FP/PE)=1,
∴[x/(x+y)][2(x+y)/x](FP/PE)=1,∴FP/PE=1/2,∴FP/(FP+PE)=1/3,
∴FP=(1/3)FE.
显然有:CA=2MA=2n(x+y)、NA=BN=BF+FN=m(x+y).
∴CE/CA=y/[2(x+y)]、NA/NF=(x+y)/y.
对△AFE来说,再由梅内劳斯定理,有:(CE/CA)(NA/NF)(QF/QE)=1,
∴{y/[2(x+y)]}[(x+y)/y](QF/QE)=1,∴(1/2)(QF/QE)=1,
∴QE/QF=1/2,∴QE/(QE+QF)=1/3,∴QE=(1/3)FE.
∵FP=(1/3)FE、QE=(1/3)FE,∴PQ=FE-FP-QE=(1/3)FE,
∴FP=PQ=QE.