作业帮已知│z-3-4i│＝2,则│z│的最大值是________
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/16 20:06:04
已知│z-3-4i│＝2,则│z│的最大值是________
已知│z-3-4i│＝2,则│z│的最大值是________
已知│z-3-4i│＝2,则│z│的最大值是________
已知│z-3-4i│＝2,则│z│的最大值是_√（29+14√2）_______
设z=a+bi
│z-3-4i│＝2
│a+bi-3-4i│＝2
│a-3+(b-4)i│＝2
√(a-3)^2+√(b-4)^2=2
(a-3)^2+(b-4)^2=4,当a-3=b-4,即b=a+1,a=3+√2,b=4+√2,│z│的值最大,
│z│=√{（3+√2）)^2+（4+√2）)^2}=√（29+14√2）
7
原点到 3+4i 的长+2
设z=a+bi，则：
由│z-3-4i│＝2，
│a+bi-3-4i│＝2，
│a-3+(b-4)i│＝2，
得：√[(a-3)^2+(b-4)^2]=2，
即 (a-3)^2+(b-4)^2=4，
是一个以（3，4）为圆心，2为半径的圆的方程。
故令a=2cost+3，b=2sint+4，则：
a^2+b^2=(2cost+3)^2...
全部展开
设z=a+bi，则：
由│z-3-4i│＝2，
│a+bi-3-4i│＝2，
│a-3+(b-4)i│＝2，
得：√[(a-3)^2+(b-4)^2]=2，
即 (a-3)^2+(b-4)^2=4，
是一个以（3，4）为圆心，2为半径的圆的方程。
故令a=2cost+3，b=2sint+4，则：
a^2+b^2=(2cost+3)^2+(2sint+4)^2=16sint+12cost+29
=20(4/5sint+3/5cost)+29
=20sin(t+m)+29。 (其中sinm=3/5, cosm=4/5)
因为 sin(t+m)<=1，
所以 a^+b^2的最大值为：49，
所以|z|=√(a^2+b^2)的最大值为：7。
收起
可以把等式看作 以（3，4）为圆心，半径为2的一个圆。问圆上的点离原点的距离：
圆心到原点距离为（3，4）到（0，0），距离为5. 加上圆半径2 所以答案为7
设｜ z｜ =r，则｜ z｜ =r，｜ z-3-4i｜ =2表示图中的⊙ O和⊙ O′，且｜⊙ O′｜ =5.
由题设知⊙ O和⊙ O′相交或相切，
当⊙ O′与⊙ O外切时， r有最小值，且 rmin=｜⊙ O′｜ -2=5-2=3.
∴ ｜ z｜min =3.
当⊙ O′与⊙ O外切时， r有最大值，且 rmax=｜⊙ O′｜ +2=5+2=7.
全部展开
设｜ z｜ =r，则｜ z｜ =r，｜ z-3-4i｜ =2表示图中的⊙ O和⊙ O′，且｜⊙ O′｜ =5.
由题设知⊙ O和⊙ O′相交或相切，
当⊙ O′与⊙ O外切时， r有最小值，且 rmin=｜⊙ O′｜ -2=5-2=3.
∴ ｜ z｜min =3.
当⊙ O′与⊙ O外切时， r有最大值，且 rmax=｜⊙ O′｜ +2=5+2=7.
∴ ｜ z｜max =7.
收起
数形结合可知，|z|max=7.