作业帮有点忘记了已知向量a和向量b的夹角是45度,向量的绝对值a=根号2,向量的绝对值b=3,求使向量b+入向量a与入向量b+向量a的夹角是钝角,求入的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 12:21:27
有点忘记了已知向量a和向量b的夹角是45度,向量的绝对值a=根号2,向量的绝对值b=3,求使向量b+入向量a与入向量b+向量a的夹角是钝角,求入的取值范围
有点忘记了
已知向量a和向量b的夹角是45度,向量的绝对值a=根号2,向量的绝对值b=3,求使向量b+入向量a与入向量b+向量a的夹角是钝角,求入的取值范围
有点忘记了已知向量a和向量b的夹角是45度,向量的绝对值a=根号2,向量的绝对值b=3,求使向量b+入向量a与入向量b+向量a的夹角是钝角,求入的取值范围
向量b+入向量a与入向量b+向量a的夹角是钝角
（1）数量积
只要求(b+λa)*(λb+a)=λb^2+(λ^2+1)a*b+λa^2
而a*b=|a||b|cos45°=sqrt(2)*3*sqrt(2)/2=3，b^2=|b|^2, a^2=|a|^2
所以上式=9λ+3(λ^2+1)+2λ
由于向量b+λa与向量λb+a的夹角是钝角，所以
(b+λa)*(λb+a)<0
即9λ+3(λ^2+1)+2λ<0
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只要求(b+λa)*(λb+a)=λb^2+(λ^2+1)a*b+λa^2
而a*b=|a||b|cos45°=sqrt(2)*3*sqrt(2)/2=3，b^2=|b|^2, a^2=|a|^2
所以上式=9λ+3(λ^2+1)+2λ
由于向量b+λa与向量λb+a的夹角是钝角，所以
(b+λa)*(λb+a)<0
即9λ+3(λ^2+1)+2λ<0
即3λ^2+11λ+3<0
用求根公式得到3λ^2+11λ+3=0的两根是λ1=[-11+sqrt(85)]/6,λ2=[-11-sqrt(85)]/6
所以λ的取值范围是[-11-sqrt(85)]/6=[-11-sqrt(85)]/6<λ<[-11-sqrt(85)]/6
注：由于向量符号不好打，所以我没有打，题目中a，b都表示向量，a*b表示向量的内积，
sqrt()表示根号下（）。
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