作业帮已知a是实数,函数 f(x)=2ax2+2x-3+a,如果函数y=f(x)在区间[-1,1]上有零点,求a的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/15 23:52:02
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已知a是实数,函数 f(x)=2ax2+2x-3+a,如果函数y=f(x)在区间[-1,1]上有零点,求a的取值范围
已知a是实数,函数 f(x)=2ax2+2x-3+a,如果函数y=f(x)在区间[-1,1]上有零点,求a的取值范围
已知a是实数,函数 f(x)=2ax2+2x-3+a,如果函数y=f(x)在区间[-1,1]上有零点,求a的取值范围
若a=0,f(x)=2x-3,在[-1,1]上单调递增,且f(-1)=-5≤0,f(1)=-1≤0,
即f(x)在[-1,1]上恒有f(x)≤0,所以不符合题意,故a≠0,
当a≠0时,f(x)=2ax²+2x-3+a是二次函数,要使f(x)在区间[-1,1]上有零点,
可分为两种情况：(1)区间[-1,1]上只有一个零点,(2)区间[-1,1]上有两个零点.
需满足(1) f(-1)f(1)≤0,或(2)f(-1)f(1)≥0,且对称轴x=-2/(2*2a)=-1/(2a)在区间[-1,1]内.
即(1) (3a-5)(3a-1)≤0,或(2) (3a-5)(3a-1)≥0,且-1≤-1/(2a)≤1.
解得：1/3≤a≤5/3,或 a≥5/3或a≤1/3,且a≤-1/2或a≥1/2
即1/3≤a≤5/3,或 a≥5/3或a≤-1/2,
于是a的取值范围为a≥1/3或a≤-1/2,即a∈(-∞,-1/2]∪[1/3,+∞).
∵函数 f(x)=2ax2+2x-3+a,如果函数y=f(x)在区间[-1,1]上有零点，
∴f（-1）f（1）＜0
即（2a-2-3+a）（2a+2-3+a）＜0→（3a-5）（3a-1）＜0
→ 1/3＜a＜5/3
...
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∵函数 f(x)=2ax2+2x-3+a,如果函数y=f(x)在区间[-1,1]上有零点，
∴f（-1）f（1）＜0
即（2a-2-3+a）（2a+2-3+a）＜0→（3a-5）（3a-1）＜0
→ 1/3＜a＜5/3
即 a的取值范围是 1/3＜a＜5/3或者(1/3,5/3)
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