作业帮求函数f(x)的表达式已知二次函数y=f(x)的图像过原点,且f(x-1)=f(x)+x-1,求f(x)的表达式.※求详解※ 感激不尽啊
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 17:19:28
求函数f(x)的表达式已知二次函数y=f(x)的图像过原点,且f(x-1)=f(x)+x-1,求f(x)的表达式.※求详解※ 感激不尽啊
求函数f(x)的表达式
已知二次函数y=f(x)的图像过原点,且f(x-1)=f(x)+x-1,求f(x)的表达式.※求详解※ 感激不尽啊
求函数f(x)的表达式已知二次函数y=f(x)的图像过原点,且f(x-1)=f(x)+x-1,求f(x)的表达式.※求详解※ 感激不尽啊
二次函数y=f(x)的图像过原点
设 f(x)=ax²+bx
则
f(x-1)=f(x)+x-1
a(x-1)²+b(x-1)=ax²+bx+x-1
ax²-2ax+a+bx-b=ax²+(b+1)x-1
ax²+(b-2a)x+a-b=ax²+(b+1)x-1
所以
b-2a=b+1
-2a=1
a=-1/2
a-b=-1
b=1/2
所以
f(x)=x²/2+x/2
由于是二次函数，且过原点，待定系数法，设 f(x)＝ax²＋bx
那么， f(x－1)＝ a(x－1)²＋b(x－1)
则有 a(x－1)²＋b(x－1) ＝ ax²＋bx ＋x－1
展开整理，利用两边对应各项系数相等就可以列方程，求出a、b了
f(x)=x*x/2+x/2
图像过原点知f(0)=0
又可知f(0)=f(1)+1-1=0;即f(1)=0。
f(x)=0的两个根为0,1，即f(x)=cx(x-1)。
又f(1)=f(2)+2-1=0，得出f(2)=-1，故c=-0.5。
所以f(x)=-x(x-1)/2
f(x)=ax2+bx，f(0)=0,由f(x-1)=f(x)+x-1可得f(1)=0,f(2)=-1,求得a=-1/2,b=1/2.
即f(x)=-1/2x2+1/2x
设f(x)=ax^2+bx,则a(x-1)^2+b(x-1）=ax^2+bx+x-1
整理得（2a+1)x=2-b x=0时成立得b=2则（2a+1)x=0恒成立
所以a=-1/2
f(x)=-1/2x^2+2x
因为图像过原点，所以设二次函数解析式为y=ax2+bx
a(x-1)2+b(x-1)=ax2+bx+x-1，整理得
b-2a=b+1
a-b=-1
解得
a=-1/2
b=1/2
所以y=-1/2x2+1/2x
设二次函数表达式为f(x)=ax^2+bx+c,
∵函数图象过原点所以f(0)=c=0,
又∵f(x-1)=f(x)+x-1，
∴a(x-1)^2+b(x-1)=f(x)+x-1
左边=ax^2-2ax+a+bx-b
=ax^2+(b-2a)x+(a-b)
全部展开
设二次函数表达式为f(x)=ax^2+bx+c,
∵函数图象过原点所以f(0)=c=0,
又∵f(x-1)=f(x)+x-1，
∴a(x-1)^2+b(x-1)=f(x)+x-1
左边=ax^2-2ax+a+bx-b
=ax^2+(b-2a)x+(a-b)
右边=ax^2+bx+x-1
=ax^2+(b+1)x-1
左边=右边，即对应系数相等，
∴b-2a=b+1,且a-b=-1
解以上方程组得a= -0.5,b=0.5,
所以f(x)的表达式为f(x)= -0.5x^2+0.5x
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