作业帮已知算式（1+2+3+…+n）+2007的结果可表示为n(n>1)个连续自然数的和.请问：共有多少个满足要求的自然数n
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/15 01:49:51
已知算式（1+2+3+…+n）+2007的结果可表示为n(n>1)个连续自然数的和.请问：共有多少个满足要求的自然数n
已知算式（1+2+3+…+n）+2007的结果可表示为n(n>1)个连续自然数的和.请问：共有多少个满足要求的自然数n
已知算式（1+2+3+…+n）+2007的结果可表示为n(n>1)个连续自然数的和.请问：共有多少个满足要求的自然数n
第一种考虑：
1到n是n个连续自然数的和,将2007平均分给n个数,所得的n个数仍是连续的自然数,
要将2007平均分成n份,所以2007能被n整除,即n是2007的约数.
2007=1*3*3*223,约数共有6个（1,3,9,223,669,2007）.
题目要求n大于1,去掉1,
所以剩下5个,即总共有5种.
当n=3时,原式=1+2+3+669*3=670+671+672
当n=9时,原式=1+2+3+……+9+223*9=224+225+……+232
当n=223时,原式=1+……+223+9*223=10+11+……+232
当n=669时,原式=1+……+669+3*669=4+5+……+672
当n=2007时,原式=1+……+2007+1*2007=2+3+……+2008
第二种考虑：
2007本身是个奇数,它可分成若干个连续自然数的和
即2007=2007+0
=1003+1004
=668+669+670
=219+220+……+227
所以n=218,667,1002,2006时亦成立
当n=218时,原式=（1+2+3+……+218）+（219+220+……+227）
当n=667时,原式=（1+2+3+……+667）+（668+669+670）
当n=1002时,原式=（1+2+3+……+1002）+（1003+1004）
当n=2006时,原式=（1+2+3+……+2006）+2007
所以
综上所述,共有9个满足要求的自然数n
它们是3,9,218,223,667,669,1002,2006,2007
提交完答案,突然发现,还有很多……,汗啊!
我们知道,任何奇数个连续自然数的和的平均数都是中间那个数
例如（1+2+3）/3=2
（1+2+3+4+5）/5=3
（4+5+6）/3=5
……
而2007这个数本身是奇数,又是3的倍数,
所以想让若干个连续自然数的和加上2007后变成3的倍数太容易了,有无数个……
而只要是3的倍数的数都可以表示成3个连续自然数的和,所以,有无数个答案啊……
何况还没考虑5个,7个等等数的和里还有3的倍数的可能啊,太多了……
我倒……
所以,这道题的答案是：
共有无数个满足要求的自然数n !
设第一个自然数为a,则第n个自然数为a+(n-1),于是有
（n(n+1)+4014）/2=(n(2a+(n-1)))/2化简得
n(a-1)=2007=3*669=9*233=2007*1知n=3，669，9，233，2007共5个
4
2007/n+(n+1)/2