作业帮如图,已知直线L:y=kx-2与抛物线C:x^2=-2py(p>0)交于A,B两点,O为坐标原点,OA向量+OB向量=(-4,-12)(1)求直线L和抛物线C的方程;(2)抛物线上一动点P从A到B运动时,求△ABP面积的最大值.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 19:43:54
如图,已知直线L:y=kx-2与抛物线C:x^2=-2py(p>0)交于A,B两点,O为坐标原点,OA向量+OB向量=(-4,-12)(1)求直线L和抛物线C的方程;(2)抛物线上一动点P从A到B运动时,求△ABP面积的最大值.
如图,已知直线L:y=kx-2与抛物线C:x^2=-2py(p>0)交于A,B两点,O为坐标原点,OA向量+OB向量=(-4,-12)
(1)求直线L和抛物线C的方程;
(2)抛物线上一动点P从A到B运动时,求△ABP面积的最大值.
如图,已知直线L:y=kx-2与抛物线C:x^2=-2py(p>0)交于A,B两点,O为坐标原点,OA向量+OB向量=(-4,-12)(1)求直线L和抛物线C的方程;(2)抛物线上一动点P从A到B运动时,求△ABP面积的最大值.
我给你附上超级详细计算AND针对本类题的方法提升
第一题：
因为：OA+OB=（-4,-12）
这就是说XA+XB=-4,YA+YB=-12（X,Y就是横坐标纵坐标的意思）
那么可以得到AB中点坐标是（-2,-6）
又因为L:y=kx-2
【所以代入算得：y=2x-2】
把它代入C:x^2=-2py(p>0)
得到：x2+4px-4p=0
根据韦伯公式：x1+x2=-4p又因为x1+x2=-4
所以：p=1
【所以：C:x^2=-2y】
第二题：
这种类型的题有多种解法,基本都是先求出P到AB的最大距离,然后求出AB长度,然后得出面积最大值.很少情况下用到求出ABP三点坐标然后用行列式求面积（因为AB坐标求解以及行列式运算可能比较复杂）
我给出两种方法：一种是常规法,另一种是我个人比较喜欢推崇的方法.他们的求AB长度方法都是一样的,不同之处在于求P到AB的最大距离.且看!
方法一：
常规法就是设点P为（x,-x2/2）
然后用点到直线的距离公式算出d=绝对值[(x+2)2-8]/(2根号5)
又因为XA=-2-2根号2.XB=-2+2根号2
因此：d的最大值是当x=-2时,dmax=4/根号5
方法二：
我个人比较喜欢用切线法（我自己编的名字……）
思想就是：当P处在抛物线上某一点,抛物线在这一点处的切线斜率等于AB的斜率,那么这就是三角形面积最大时,不知道你理解不……从图中看出,这一点是在范围内的
至于具体计算等下我会算,但是你会发现这样计算可能比上面的常规法还麻烦.
为什么我喜欢这种方法呢?因为以后常常会遇到函数式极其复杂的抛物线和直线,那么用常规法求点的坐标会非常麻烦!而这种切线法无论函数式的复杂或简单,他的运算量都比较适中!
当然对于简单的函数式用常规法也是不错的.
具体计算：对于任意的抛物线y2=kx,其上某一点（m,n）处的切线方程如下：yn=k（m+x）/2
对于任意的抛物线x2=ky,其上某一点（m,n）处的切线方程如下：xm=k（n+y）/2
本题中C:x^2=-2y
所以假设P点坐标（m,n）
那么该点切线方程是：xm=-n-y
因为要使得斜率和AB相等,也就是斜率=2
所以m=-2
因此P点坐标是：（-2,-2）
因此切线方程是：2x-y+2=0
再因为：L：2x-y-2=0
两条平行线间距离很好求,所以d=4/根号5
最后就是求AB的长度.两种方法都回归到如下：
再因为AB=4根号10（AB算法就是[|x1-x2|*根号（1+k2）]）
所以面积最大值是：8根号2