已知等边三角形ABC,P为△ABC外一点,∠BPC=120°,连接PA,PB,PC(1)求证:PB+PC=PA; (2)若P为△ABC内一点,∠BPC=150°,请猜想PA,PB与PC之间的数量关系,并证明你的猜想; (3)在(2)的条件下,若AP=5,S
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/25 20:10:06
![已知等边三角形ABC,P为△ABC外一点,∠BPC=120°,连接PA,PB,PC(1)求证:PB+PC=PA; (2)若P为△ABC内一点,∠BPC=150°,请猜想PA,PB与PC之间的数量关系,并证明你的猜想; (3)在(2)的条件下,若AP=5,S](/uploads/image/z/2502836-44-6.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E7%AD%89%E8%BE%B9%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2ABC%2CP%E4%B8%BA%E2%96%B3ABC%E5%A4%96%E4%B8%80%E7%82%B9%2C%E2%88%A0BPC%3D120%C2%B0%2C%E8%BF%9E%E6%8E%A5PA%2CPB%2CPC%EF%BC%881%EF%BC%89%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9APB%2BPC%3DPA%EF%BC%9B+%EF%BC%882%EF%BC%89%E8%8B%A5P%E4%B8%BA%E2%96%B3ABC%E5%86%85%E4%B8%80%E7%82%B9%2C%E2%88%A0BPC%3D150%C2%B0%2C%E8%AF%B7%E7%8C%9C%E6%83%B3PA%2CPB%E4%B8%8EPC%E4%B9%8B%E9%97%B4%E7%9A%84%E6%95%B0%E9%87%8F%E5%85%B3%E7%B3%BB%2C%E5%B9%B6%E8%AF%81%E6%98%8E%E4%BD%A0%E7%9A%84%E7%8C%9C%E6%83%B3%EF%BC%9B+%EF%BC%883%EF%BC%89%E5%9C%A8%EF%BC%882%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%9D%A1%E4%BB%B6%E4%B8%8B%2C%E8%8B%A5AP%3D5%2CS)
已知等边三角形ABC,P为△ABC外一点,∠BPC=120°,连接PA,PB,PC(1)求证:PB+PC=PA; (2)若P为△ABC内一点,∠BPC=150°,请猜想PA,PB与PC之间的数量关系,并证明你的猜想; (3)在(2)的条件下,若AP=5,S
已知等边三角形ABC,P为△ABC外一点,∠BPC=120°,连接PA,PB,PC(1)求证:PB+PC=PA;
(2)若P为△ABC内一点,∠BPC=150°,请猜想PA,PB与PC之间的数量关系,并证明你的猜想;
(3)在(2)的条件下,若AP=5,S△BPC=3,PC>PB,求S△ABC.
已知等边三角形ABC,P为△ABC外一点,∠BPC=120°,连接PA,PB,PC(1)求证:PB+PC=PA; (2)若P为△ABC内一点,∠BPC=150°,请猜想PA,PB与PC之间的数量关系,并证明你的猜想; (3)在(2)的条件下,若AP=5,S
1.证:延长CP,在其延长线上取O点,使PO=PB.连接BO
∠BPC=120°,则∠BPO=60°,则三角形BPO为等边三角形
则BP=BO,∠PBO=60°=∠ABC
∠CBO= ∠CBP+∠PBO;∠ABP= ∠ABC+∠CBP
即∠CBO=∠ABP;又AB=BC,BP=BO
即三角形 ABP 与 CBO 全等
PA=CO=CP+PO=PC+PB,得证
2.PB+PC=PA
证明如一,延长CP,在其延长线上取O点,使PO=PB.连接BO.
三角形 ABP 与 CBO 全等,所以:PB+PC=PA
3.边长为6,面积 9√3
(1)
延长BP到D,使得PD=PC
因为∠BPC=120°,所以∠CPD=60°
所以△PCD是等边三角形
∠ACP=∠BCP+60°
∠BCD=∠BCP+60°
所以∠ACP=∠BCD
又AC=BC,CP=CD
所以△ACP全等于△BCD
所以PA=BD=BP+PD=PB+PC
即PB+PC=PA
(2)<...
全部展开
(1)
延长BP到D,使得PD=PC
因为∠BPC=120°,所以∠CPD=60°
所以△PCD是等边三角形
∠ACP=∠BCP+60°
∠BCD=∠BCP+60°
所以∠ACP=∠BCD
又AC=BC,CP=CD
所以△ACP全等于△BCD
所以PA=BD=BP+PD=PB+PC
即PB+PC=PA
(2)
则∠PCB=180°-150°-∠PBC=30°-∠PBC
∠ABP=60°-∠PBC
∠ACP=60°-(30°-∠PBC)=∠PBC+30°
所以∠ABP+∠ACP=90°
沿着点A顺时针旋转60°使PA到DA,则△PAD为等边三角形,
所以PA=PD=DA,
∠DAB=60°-∠DAP
∠PAC=60°-∠DAP
所以∠DAB=∠PAC
又因为DA=PA,AB=AC
所以△DAB全等于△PAC
所以BD=PC,∠ABD=∠ACP
又∠ABP+∠ACP=90°
所以∠ABP+∠ABD=90°
所以∠PBD=90°
所以PD^2=PB^2+BD^2
因为PD=PA,BD=PC
所以PA^2=PB^2+PC^2
(3)
S△BPC=1/2 * sin∠BPC * PB*PC=PB*PC/4=3
PB*PC=12
又PB^2+PC^2=PA^2=25
又PC>PB
解方程得PB=3,PC=4
S△ABC=1/2 * 根号3/2 * BC^2 = 根号3/4 * BC^2
BC^2=PB^2+PC^2-2*cos∠BPC*PB*PC=3^2+4^2+根号3 * 3*4=25+12根号3
所以S△ABC=根号3/4 * (25+12根号3) = 9 + 25根号3 / 4
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