设抛物线方程为x^2=zpy(p>0),M为直线y=-2p上任意一点,过M引抛物线的切线,切点分别为A,B.是否存在点M,使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x^2=2py上,其中,点C满足向量OC=向量OA+向量OB（O为坐标原点

设抛物线方程为x^2=zpy(p>0),M为直线y=-2p上任意一点,过M引抛物线的切线,切点分别为A,B.是否存在点M,使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x^2=2py上,其中,点C满足向量OC=向量OA+向量OB（O为坐标原点
设抛物线方程为x^2=zpy(p>0),M为直线y=-2p上任意一点,过M引抛物线的切线,切点分别为A,B.是否存在点M,使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x^2=2py上,其中,点C满足向量OC=向量OA+向量OB（O为坐标原点）.若存在,求出所有适合题意的点M的坐标,若不存在,请说明理由.

设抛物线方程为x^2=zpy(p>0),M为直线y=-2p上任意一点,过M引抛物线的切线,切点分别为A,B.是否存在点M,使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x^2=2py上,其中,点C满足向量OC=向量OA+向量OB（O为坐标原点
答案：仅存在一点M(0,-2p)满足条件.
这是2008年高考山东卷理科数学最后一题(22题)的第三小问,一模一样的!小弟在就不在此赘述了,下面是22题的完整题目及答案,供老兄参考!
(查看第22题)
小弟感觉这道题挺难得,是08年19份理科数学中关于解析几何部分最难的一道,你看,光答案就是两页!唉,也怪我们山东考生命苦,每年题都这么难.再加上这道题是最后一道,压轴题,能不难吗?老兄先慢慢看看吧,反正我这低水平的人第三问看了两边,看的头都晕了,还是没弄清楚!

由题中的向量OC=向量OA+向量OB,而D是点C关于直线AB的对称点,则由平行四边形法则可知,OD平行于AB.
设OD直线的方程为y=kx(则可知:直线AB的斜率=k.
求y=kx与抛物线x^2=2py交点为:
x^2=2pkx
当x≠0时,解得xD=2pk.
则yD=2pk^2.
且|AO|=|BD|
设A,B坐标分别为A(x1,y1) ,...

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由题中的向量OC=向量OA+向量OB,而D是点C关于直线AB的对称点,则由平行四边形法则可知,OD平行于AB.
设OD直线的方程为y=kx(则可知:直线AB的斜率=k.
求y=kx与抛物线x^2=2py交点为:
x^2=2pkx
当x≠0时,解得xD=2pk.
则yD=2pk^2.
且|AO|=|BD|
设A,B坐标分别为A(x1,y1) , B(x2,y2)
则分别满足
x1^2=2py1;
x2^2=2py2;
相减得:
(x1+x2)(x1-x2)=2p(y1-y2)
其中(y1-y2)/(x1-x2)=k,
则x1+x2=2pk.
设A,B两点切线斜率分别为k1,k2;
用求导数的方法求得:
2py=x^2 →y=(x^2)/(2p) →y'=(2x)/(2p)=x/p;
则: k1=x1/p; k2=x2/p.
则这两条切线方程分别为:
L1: y=y1+k1(x-x1)
=y1+(x1/p)·x - x1^2 /p;
L2: y=y2+(x2/p)·x - x2^2 /p;
L1与L2交于点M(m,-2p),坐标代入,分别得到:
{
-2p=y1+(x1/p)·m - x1^2 /p;
-2p=y2+(x2/p)·m - x2^2 /p;
相减得:
0=(y1-y2)+(m/p)(x1-x2) - (x1+x2)(x1-x2)/p
而(y1-y2)/(x1-x2)=k,又x1+x2=2pk,
则整理得到: m=pk.
由|AO|=|BD|得:
√(x1^2 +y1^2 )=√[(x2-2pk)^2 +(y2-2pk^2)^2]
x1^2 -(x2-2pk)^2 = (y2-2pk^2)^2 -y1^2
运用x1+x2=2pk,x^2=2py等,整理得
x1^2 + x2^2 =4p^2·k^2 ①
而(x1+x2)^2=(2pk)^2 =4p^2·k^2
即 x1^2 + x2^2 +2x1·x2=4p^2·k^2 ,②
②-①可得
x1·x2=0.
这说明A,B两点中有一个横坐标为0;即是坐标原点O;
也就是说,AB与OD重合.
而O点的切线为y=0与y=-2p平行,则显然不可能与直线y=-2p相交.
所以不存在.

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你的抛物线方程是x²=2py，不是x²=zpy吧？如果是zpy那就没法解了。。
根据抛物线方程y=x²/2p，设出切点A的坐标是(a，a²/2p)，B的坐标是(b，b²/2p)以及D点的坐标(d，d²/2p)；由于向量OC=向量OA+向量OB，从物理角度讲，这就相当于求合力。也就是说OACB是平行四边形，OC、AB是对角线，且BC‖OA，AC...

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你的抛物线方程是x²=2py，不是x²=zpy吧？如果是zpy那就没法解了。。
根据抛物线方程y=x²/2p，设出切点A的坐标是(a，a²/2p)，B的坐标是(b，b²/2p)以及D点的坐标(d，d²/2p)；由于向量OC=向量OA+向量OB，从物理角度讲，这就相当于求合力。也就是说OACB是平行四边形，OC、AB是对角线，且BC‖OA，AC‖OB。
OA的方程：y=ax/2p；OB的方程：y=bx/2p。
AC‖OB过A，故AC的方程：y=bx/2p+a(a-b)/2p；
BC‖OA过B，故BC的方程：y=ax/2p-b(a-b)/2p，【实际上仔细看不难看出A、B的未知数是对称的，所以，写出AC方程后，只要把a、b交换，就可直接写出BC的方程。】；
AC与BC的交点就是C，故C的坐标：x=a+b，y=(a²+b²)/2p。
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当然，如果你对向量定义十分熟悉，也可以一眼就看出C的坐标，而不用这样复杂地去求解。
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另：
AB的方程：y=(a+b)x/2p-ab/2p
CD的方程：y=(a²+b²-d²)x/2(a+b-d)p-(a²+b²-a-b)d/2(a+b-d)p。
AB⊥CD，故：[(a+b)/2p][(a²+b²-d²)/2(a+b-d)p]=-1。
且BC=BD，列出方程可求解a、b、d。然后求M坐标。
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以上都是建立在a≠b的基础上推导的，可以假设如果a=b，也就是M在y轴上，M(0，-2p)，此时MA、MB关于y轴对称，AB‖x，CD与y轴重合，且进一步可推导出O、D重合。根据M的坐标可算出A、B、C的坐标。

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