作业帮急求∫(sina*sina)/(1+Ksina)da的积分,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 16:03:46
急求∫(sina*sina)/(1+Ksina)da的积分,
急求∫(sina*sina)/(1+Ksina)da的积分,
急求∫(sina*sina)/(1+Ksina)da的积分,
原式=(1/K^2)∫(Ksina+1-1)^2/(1+Ksina)da+C
=(1/K^2)∫[(Ksina+1)^2-2(Ksina+1)+1]/(Ksina+1)da+C
=(1/K^2)[∫(Ksina+1)da-2∫da+∫1/(Ksina+1)da]+C
=(1/K^2)[-Kcosa+a-2a+A]+C（*）
用万能公式代换计算A
令tan(a/2)=t,
则a=2arctant,da=2dt/(1+t^2)
sina=2sin(a/2)cos(a/2)=2tan(a/2)/(1+tan^2(a/2))=2t/(1+t^2)
从而有
A=∫[1/(1+K*2t/(1+t^2))]*2/(1+t^2)dt
=2∫dt/(t^2+2Kt+1)
=2∫d(t+K)/[(t+K)^2+(1-K^2)]
（1-K^2>0时,由公式∫dt/(t^2+b^2)=(1/b)arctan(t/b)+c,令b=sqrt(1-K^2),t=t+K）
=[2/sqrt(1-K^2)]arctan[(t+K)/aqrt(1-K^2)+c带入（*）式得：
原式=(1/K^2){-Kcosa+a-2a+[2/sqrt(1-K^2)]arctan[(t+K)/aqrt(1-K^2)}+C
=-cosa/K-a/K^2+2/(K^2*sqrt(1-K^2))arctan[(t+K)/aqrt(1-K^2)]+C
再将t=tan(a/2)代入上式得：
原式=
=-cosa/K-a/K^2+2/(K^2*sqrt(1-K^2))arctan[(tan(a/2)+K)/aqrt(1-K^2)]+C
当1-K^20时结果为
-cosa/K-a/K^2+2/(K^2*sqrt(1-K^2))arctan[(tan(a/2)+K)/aqrt(1-K^2)]+C
当1-K^2