已知函数f(x)=5根号3cos平方x+根号3sin平方x-4sinxcosx(π/4≤x≤7π/24)求此函数最小值对应下的X值.要在定义域内!
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/20 04:34:47
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已知函数f(x)=5根号3cos平方x+根号3sin平方x-4sinxcosx(π/4≤x≤7π/24)求此函数最小值对应下的X值.要在定义域内!
已知函数f(x)=5根号3cos平方x+根号3sin平方x-4sinxcosx(π/4≤x≤7π/24)
求此函数最小值对应下的X值.要在定义域内!
已知函数f(x)=5根号3cos平方x+根号3sin平方x-4sinxcosx(π/4≤x≤7π/24)求此函数最小值对应下的X值.要在定义域内!
f(x)=4√3cos²x+√3-4sinxcosx
=2√3﹙1+cos2x﹚-2sin2x+√3
=4[﹙√3/2﹚cos2x-﹙1/2﹚sin2x]+3√3
=4cos﹙2x+π/6﹚+3√3
∵π/4≤x≤7π/24
∴﹙2/3﹚π≤2x+π/6≤﹙3/4﹚π
由图像可知在﹙3/4﹚π处最小
∴此时x=7π/24
f(x)=5根号3cos平方x+根号3sin平方x-4sinxcosx
=5√3cos²x+√3sin²x-4sinxcosx
=√3cos²x+√3sin²x+4√3cos²x-4sinxcosx
=√3+4√3cos²x-4sinxcosx
=√3+4√3*(1+cos2x)/2-2sin2x
...
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f(x)=5根号3cos平方x+根号3sin平方x-4sinxcosx
=5√3cos²x+√3sin²x-4sinxcosx
=√3cos²x+√3sin²x+4√3cos²x-4sinxcosx
=√3+4√3cos²x-4sinxcosx
=√3+4√3*(1+cos2x)/2-2sin2x
=√3+2√3+2√3 cos2x-2sin2x
=3√3+2√3 cos2x-2sin2x
=3√3+4(√3 /2*cos2x-1/2*sin2x)
=3√3+4 cos(2x+π/6)
因为π/4≤x≤7π/24, 所以2π/3≤2x+π/6≤3π/4.
所以-√2/2≤cos(2x+π/6) ≤-1/2
函数最小值为3√3+4*(-√2/2)=3√3-2√2.
此时2x+π/6=3π/4.
X=7π/24.
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