一道数学难题(2009年西城一模最后一题) 希望解释一些最后一问那个排列组合式子答案可能不详,随便找个网下一下即可,很容易,2009年西城一模 20.(本小题满分14分)设m>3,对于有穷数列an,令bk
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/25 20:14:16
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一道数学难题(2009年西城一模最后一题) 希望解释一些最后一问那个排列组合式子
答案可能不详,随便找个网下一下即可,很容易,2009年西城一模
20.(本小题满分14分)
设m>3,对于有穷数列an,令bk为a1,a2…ak中的最大值,称数列bn为an的“创新数列”.数列bn中不相等项的个数称为an的“创新阶数”.例如数列2,1,3,7,5的创新数列为2,2,3,7,7,创新阶数为3.
考察自然数1,2,…m(m〉3) 的所有排列,将每种排列都视为一个有穷数列cn.
(I)若m=5,写出创新数列为3,4,4,5,5的所有数列cn;
(II)是否存在数列cn,使它的创新数列为等差数列?若存在,求出所有的数列cn,若不存在,请说明理由;
(III)在创新阶数为2的所有数列cn中,求它们的首项的和.
(I)解:由题意,创新数列为3,4,4,5,5的数列{cn}有两个,即:
(1)数列3,4,1,5,2; 2分
(2)数列3,4,2,5,1.3分
注:写出一个得2分,两个写全得3分.
(II)答:存在数列{cn},它的创新数列为等差数列
设数列 的创新数列为
因为 为 …,中的最大值
所以
由题意知:为 ,…,中最大值,为 ,,…,,中最大值
所以 ,且
若 为等差数列,设其公差为d,则 ,且
当 时,为常数列,又
所以数列 为m,m,…,m,此时数列 是首项为m的任意一个符合条件的数列;
当d=1时,因为
所以数列 为1,2,3,…,m,此时数列 是1,2,3,…,m 7分
当 时,因为
又 ,
所以
这与 矛盾,所以此时 不存在,即不存在 使得它的创新数列为 的等差数列.
综上,当数列 为:(1)首项为m的任意符合条件的数列;(2)数列1,2,3,…,m时,它的创新数列为等差数列.9分
注:此问仅写出结论(1)(2)者得2分.
(III)解:设 的创新数列为 (n=1,2,…,m)
由(II)知,
由题意,得
所以当数列 的创新阶数为2时,必然为 m,m,…,m(其中 )
由排列组合知识,得创新数列为k,k,…,k,m,m,…m(k
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我看不到式子就按我的理解说了
那个数应该是全排k-1乘上全排(m-k)
首项的和是 ((k+1)*k/2) * (k-1)!* (m-k)!
<(k+1)*k/2) * (k-1)>* (m-k)