一道初三数学几何题如图,△ABC是边长为6的等边三角形,P是AC边上一动点,由A向C运动(与A、C不重合),Q是CB延长线上一点,与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(Q不与B重合),过P作PE
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/25 09:59:49
![一道初三数学几何题如图,△ABC是边长为6的等边三角形,P是AC边上一动点,由A向C运动(与A、C不重合),Q是CB延长线上一点,与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(Q不与B重合),过P作PE](/uploads/image/z/330450-42-0.jpg?t=%E4%B8%80%E9%81%93%E5%88%9D%E4%B8%89%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%87%A0%E4%BD%95%E9%A2%98%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E2%96%B3ABC%E6%98%AF%E8%BE%B9%E9%95%BF%E4%B8%BA6%E7%9A%84%E7%AD%89%E8%BE%B9%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%2CP%E6%98%AFAC%E8%BE%B9%E4%B8%8A%E4%B8%80%E5%8A%A8%E7%82%B9%2C%E7%94%B1A%E5%90%91C%E8%BF%90%E5%8A%A8%EF%BC%88%E4%B8%8EA%E3%80%81C%E4%B8%8D%E9%87%8D%E5%90%88%EF%BC%89%2CQ%E6%98%AFCB%E5%BB%B6%E9%95%BF%E7%BA%BF%E4%B8%8A%E4%B8%80%E7%82%B9%2C%E4%B8%8E%E7%82%B9P%E5%90%8C%E6%97%B6%E4%BB%A5%E7%9B%B8%E5%90%8C%E7%9A%84%E9%80%9F%E5%BA%A6%E7%94%B1B%E5%90%91CB%E5%BB%B6%E9%95%BF%E7%BA%BF%E6%96%B9%E5%90%91%E8%BF%90%E5%8A%A8%EF%BC%88Q%E4%B8%8D%E4%B8%8EB%E9%87%8D%E5%90%88%EF%BC%89%2C%E8%BF%87P%E4%BD%9CPE)
一道初三数学几何题如图,△ABC是边长为6的等边三角形,P是AC边上一动点,由A向C运动(与A、C不重合),Q是CB延长线上一点,与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(Q不与B重合),过P作PE
一道初三数学几何题
如图,△ABC是边长为6的等边三角形,P是AC边上一动点,由A向C运动(与A、C不重合),Q是CB延长线上一点,与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(Q不与B重合),过P作PE⊥AB于E,连接PQ交AB于D.
(1)当∠BQD=30°时,求AP的长;
(2)当运动过程中线段ED的长是否发生变化?如果不变,求出线段ED的长;如果变化请说明理由.
注:复制无效,最好用纸写下来然后拍照.谢谢!
一道初三数学几何题如图,△ABC是边长为6的等边三角形,P是AC边上一动点,由A向C运动(与A、C不重合),Q是CB延长线上一点,与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动(Q不与B重合),过P作PE
(1)作PF∥BC,交AB于F,则∠FPD=∠BQD=30°;∠APF=∠C=60°=∠A.
∴⊿APF为等边三角形,AP=PF=AF.
∵∠PDF=∠AFP-∠FPD=30°=∠FPD.
∴PF=DF.(等角对等边)
∵BQ=AP=PF;∠BDQ=∠FDP;∠BQD=∠FPD.
∴⊿QBD≌⊿PFD(AAS),DB=DF=PF=AF.
故AP=AB/3=2.
(2)ED的长度不发生变化.
证明:作PF∥BC,交AB于F,则∠APF=∠C=60°=∠A.
∴⊿APF为等边三角形,AP=PF.
∵PE垂直AF.(已知)
∴AE=EF.(等腰三角形"三线合一")
∵BQ=AP=PF;∠BDQ=∠FDP;∠QBD=∠PFD=120度.
∴⊿QBD≌⊿PFD(AAS),BD=FD.
∴EF+FD=AE+BD.(等式的性质)
故ED=AB/2=3.
(1)∵△ABC是边长为6的等边三角形,
∴∠ACB=60°,
∵∠BQD=30°,
∴∠QCP=90°,
设AP=x,则PC=6﹣x,QB=x,
∴QC=QB+C=6+x,
∵在Rt△QCP中,∠BQD=30°,
∴PC=½QC,即6﹣x=½(6+x),解得x=2;
(2)当点P、Q运动时,线段D...
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(1)∵△ABC是边长为6的等边三角形,
∴∠ACB=60°,
∵∠BQD=30°,
∴∠QCP=90°,
设AP=x,则PC=6﹣x,QB=x,
∴QC=QB+C=6+x,
∵在Rt△QCP中,∠BQD=30°,
∴PC=½QC,即6﹣x=½(6+x),解得x=2;
(2)当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变.理由如下:
作QF⊥AB,交直线AB的延长线于点F,连接QE,PF,
又∵PE⊥AB于E,
∴∠DFQ=∠AEP=90°,
∵点P、Q做匀速运动且速度相同,
∴AP=BQ,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°,
∴在△APE和△BQF中,
∵∠A=∠FBQ∠AEP=∠BFQ=90°,
∴∠APE=∠BQF,
∴∠A=∠FBQ
AP=BQ
∠AEP=∠BFQ
∴△APE≌△BQF,
∴AE=BF,PE=QF且PE∥QF,
∴四边形PEQF是平行四边形,
∴DE=½EF,
∵EB+AE=BE+BF=AB,
∴DE=½AB,
又∵等边△ABC的边长为6,
∴DE=3,
∴当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变.
分析: (1))由△ABC是边长为6的等边三角形,可知∠ACB=60°,再由∠BQD=30°可知∠QCP=90°,设AP=x,则PC=6﹣x,QB=x,在Rt△QCP中,∠BQD=30°,PC=½QC,即6﹣x=½(6+x),求出x的值即可;
(2)作QF⊥AB,交直线AB的延长线于点F,连接QE,PF,由点P、Q做匀速运动且速度相同,可知AP=BQ,
再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF,再由AE=BF,PE=QF且PE∥QF,可知四边形PEQF是平行四边形,进而可得出EB+AE=BE+BF=AB,DE=½AB,由等边△ABC的边长为6可得出DE=3,故当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变.
点评: 本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质,根据题意作出辅助线构造出全等三角形是解答此题的关键.
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