作业帮以知平行四边形ABCD中,AB=2AD,延长AD到F使DF=AD,延长DA到E,使AE=AD这时BF与CE存在什么关系?请证明你的猜想.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/14 10:11:43
以知平行四边形ABCD中,AB=2AD,延长AD到F使DF=AD,延长DA到E,使AE=AD这时BF与CE存在什么关系?请证明你的猜想.
以知平行四边形ABCD中,AB=2AD,延长AD到F使DF=AD,延长DA到E,使AE=AD这时BF与CE存在什么关系?请证明你的猜想.
以知平行四边形ABCD中,AB=2AD,延长AD到F使DF=AD,延长DA到E,使AE=AD这时BF与CE存在什么关系?请证明你的猜想.
BF⊥CE
证明如下：
由余弦定理,得
BF²
=AF²+AB²-2AB*AF*cos∠BAF
=4AD²+AB²-4AB*AD*cos∠BAF
=8AD²(1-cos∠BAF)
CE²
=DC²+DE²-2DC*DE*cos∠CDE
=AB²+4AD²+4AB*AD*cos∠BAF
=8AD²(1+cos∠BAF)
∴[BF²/(8AD²)]+[CE²/(8AD²]=2
∴BF²+CE²=16AD²=4AB²
向右平移CE使C到D,E到G,GF=2AB
则BF²+CE²=FG²
∴BF⊥CE
得证!
垂直相交，设EC和BF的交点为O，分别做平行线EG、FH平行与AB和FH并交BC延长线与点G、H，由已知条件可得四边形EGDC和ABFH为菱形，根据菱形的性质，∠ECG为60°，∠FBH为30°，可知∠BOC为90°，所以EC垂直与BF。
设立CE与BF交点为H，证明CE⊥BF,
已知，平行四边形ABCD，可得AB=DC=2AD，角ABC=角ADC=120度，角BCD=角BAD=60度；
由于，角BAD=60度，可得角BAF=60度；
已知，AB=2AD，AD=DF，可得AF=AB；
由于，AF=AB，角BAF=60度，可得三角形ABF是等边三角形，角ABF=角BFA=角FAB=60度；
已知...
全部展开
设立CE与BF交点为H，证明CE⊥BF,
已知，平行四边形ABCD，可得AB=DC=2AD，角ABC=角ADC=120度，角BCD=角BAD=60度；
由于，角BAD=60度，可得角BAF=60度；
已知，AB=2AD，AD=DF，可得AF=AB；
由于，AF=AB，角BAF=60度，可得三角形ABF是等边三角形，角ABF=角BFA=角FAB=60度；
已知，DC=2AD，EA=AD，可得ED=DC；
由于，角ADC=120度 ，角ADC=角EDC，可得角EDC=120度；
由于，角EDC=120度，且ED=DC，可得角DEC=角ECD=30度；
现在由BF与CE，交点H，组成的三角形HEF
由于，角CEF=角HEF=30度，角BFE=角HFE=60度，可得角EHF=90度，
可证明CE⊥BF
收起
BF⊥CE
证明如下：
由余弦定理，得
BF²
=AF²+AB²-2AB*AF*cos∠BAF
=4AD²+AB²-4AB*AD*cos∠BAF
=8AD²(1-cos∠BAF)
CE²
=DC²+DE²-2DC*DE*cos∠CDE...
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BF⊥CE
证明如下：
由余弦定理，得
BF²
=AF²+AB²-2AB*AF*cos∠BAF
=4AD²+AB²-4AB*AD*cos∠BAF
=8AD²(1-cos∠BAF)
CE²
=DC²+DE²-2DC*DE*cos∠CDE
=AB²+4AD²+4AB*AD*cos∠BAF
=8AD²(1+cos∠BAF)
∴[BF²/(8AD²)]+[CE²/(8AD²]=2
∴BF²+CE²=16AD²=4AB²
向右平移CE使C到D,E到G，GF=2AB
则BF²+CE²=FG²
∴BF⊥CE
收起