求证一个与无理数有关的稠密性问题概念:[r]表示不超过实数r的最大整数设a为无理数,求证集合 {na-[na] | n是整数} 在[0,1]区间上稠密(即[0,1]内的任意开区间上都有上述集合的元素)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/21 17:32:23
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求证一个与无理数有关的稠密性问题概念:[r]表示不超过实数r的最大整数设a为无理数,求证集合 {na-[na] | n是整数} 在[0,1]区间上稠密(即[0,1]内的任意开区间上都有上述集合的元素)
求证一个与无理数有关的稠密性问题
概念:
[r]表示不超过实数r的最大整数
设a为无理数,求证集合 {na-[na] | n是整数} 在[0,1]区间上稠密(即[0,1]内的任意开区间上都有上述集合的元素)
求证一个与无理数有关的稠密性问题概念:[r]表示不超过实数r的最大整数设a为无理数,求证集合 {na-[na] | n是整数} 在[0,1]区间上稠密(即[0,1]内的任意开区间上都有上述集合的元素)
记{na}=na-[na].
如果我们能证明S={na-[na],for all nature number n}与区间[0,1/m]的交集非空(m是正整数),那么S就一定与任意的[(k-1)/m,k/m]交集非空(只要把它乘以若干倍即可).
进而,如果在上述证明中的m是任意的自然数,那么我们就知道S可以任意小地逼近一个[0,1]之间的数(因为它与该数的差距不会大于1/m).从而得到我们的结论.
所以,我们只需要证明对于任意m,S与区间[0,1/m]的交集非空即可.
不妨设a>0.a
n>=0且n是整数时,[na]《=na,则na-[na]>=0
n<0且n是整数时,[na]>=(na-1), 则-[na]<=(1-na) 故na-[na]<=1
综上所述na-[na] | n是整数} 在[0,1]区间上稠密
如果我们能证明S={na-[na],for all nature number n}与区间[0,1/m]的交集非空(m是正整数),那么S就一定与任意的[(k-1)/m,k/m]交集非空(只要把它乘以若干倍即可)。
---括号里的最后一句话,貌似有问题。不是乘以若干倍,而是要平移才可以。所以证明有些漏洞。请别的大神来弥补吧。...
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如果我们能证明S={na-[na],for all nature number n}与区间[0,1/m]的交集非空(m是正整数),那么S就一定与任意的[(k-1)/m,k/m]交集非空(只要把它乘以若干倍即可)。
---括号里的最后一句话,貌似有问题。不是乘以若干倍,而是要平移才可以。所以证明有些漏洞。请别的大神来弥补吧。
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