作业帮高等数学关于导数证明题
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 04:05:03
高等数学关于导数证明题
高等数学关于导数证明题
高等数学关于导数证明题
证明：运用中值定理
[x1(e^x2)-x2(e^x1)]/(x1-x2)=(1-ξ)e^ξ,ξ∈(x1,x2)
x1x2>0变形即证[(e^x2)/x2-(e^x1)/x1]/(1/x2-1/x1)=(1-ξ)e^ξ
令f(x)=(e^x)/x,g(x)=1/x,显然两函数在[x1,x2]上满足柯西中值定理条件
则存在ξ∈(x1,x2)使得
[f(x2)-f(x1)]/[g(x2)-g(x1)]=f'(ξ)/g'(ξ)=[(e^ξ)(ξ-1)/ξ^2]/[-1/ξ^2]=(1-ξ)e^ξ
即[(e^x2)/x2-(e^x1)/x1]/(1/x2-1/x1)=[(e^ξ)(ξ-1)/ξ^2]/[-1/ξ^2]=(1-ξ)e^ξ
亦即x1(e^x2)-x2(e^x1)=(x1-x2)(1-ξ)e^ξ,ξ∈(x1,x2),命题成立.