求证:平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/29 17:42:36
求证:平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和.

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证明:如图
过A,D两点做BC边的高,垂足分别为E、F
则易知△ABE≌△DCF
BE=CF,AE=DF
利用勾股定理得
BD²=BF²+DF²
BD²=(BC+CF)²+DF²
=BC²+2*BC*CF+CF²+DF²
AC²=AE²+CE²
=AE²+(BC-BE)²
=AE²+BC²-2*BC*BE+BE²
所以BD²+AC²=(BC²+2*BC*CF+CF²+DF²)+(AE²+BC²-2*BC*BE+BE²)
=2*BC²+2(CF²+DF²)
=2*BC²+2*CD²
=BC²+AD²+AB²+CD²

BD²+AC²=BC²+AD²+AB²+CD²

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