构造一个含15度的直角三角形,求15度的三种三角函数

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/05 03:47:35

构造一个含15度的直角三角形,求15度的三种三角函数
构造一个含15度的直角三角形,求15度的三种三角函数

构造一个含15度的直角三角形,求15度的三种三角函数
可完全用尺规作图得到,如图所示.
1. 先做一个等边三角形ABC；
2. 平分顶角A,得到30度的角DAC；
3. 平分角DAC,得到15度的角DAE；
则三角形DAE就是含15度的直角三角形.
设等边三角形边长为1,则CD=1/2, 由AE平分角DAC产生的射影定理得到：
DE:CE=AD:AC,即DE/CE=sqrt(3)/2,进一步：DE/(DE+CE)=sqrt(3)/(2+sqrt(3)),所以：
DE=sqrt(3)/(2+sqrt(3)) * (DE+CE) =sqrt(3)-3/2. 又AD=sqrt(3)/2,勾股定理得AE=sqrt(3/2)*(sqrt(3)-1).
所以tan15=DE/AD=(sqrt(3)-3/2)/(sqrt(3)/2)=2-sqrt(3).
sin15=DE/AE=(sqrt(6)-sqrt(2))/4;
cos15=AD/AE=(sqrt(6)+sqrt(2))/4.

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