数论证明.有整数a,b,q,r使得a=bq+r,0≤r<b.即q为b除a的商,r为b除a的余数.试证:(a,b)=(b,r) ,即被除数与除数的最大公约数等于除数与余数的最大公约数.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/20 11:07:44
![数论证明.有整数a,b,q,r使得a=bq+r,0≤r<b.即q为b除a的商,r为b除a的余数.试证:(a,b)=(b,r) ,即被除数与除数的最大公约数等于除数与余数的最大公约数.](/uploads/image/z/3941553-57-3.jpg?t=%E6%95%B0%E8%AE%BA%E8%AF%81%E6%98%8E.%E6%9C%89%E6%95%B4%E6%95%B0a%2Cb%2Cq%2Cr%E4%BD%BF%E5%BE%97a%3Dbq%2Br%2C0%E2%89%A4r%EF%BC%9Cb.%E5%8D%B3q%E4%B8%BAb%E9%99%A4a%E7%9A%84%E5%95%86%2Cr%E4%B8%BAb%E9%99%A4a%E7%9A%84%E4%BD%99%E6%95%B0.%E8%AF%95%E8%AF%81%EF%BC%9A%28a%2Cb%29%3D%28b%2Cr%29+%2C%E5%8D%B3%E8%A2%AB%E9%99%A4%E6%95%B0%E4%B8%8E%E9%99%A4%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%85%AC%E7%BA%A6%E6%95%B0%E7%AD%89%E4%BA%8E%E9%99%A4%E6%95%B0%E4%B8%8E%E4%BD%99%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%85%AC%E7%BA%A6%E6%95%B0.)
数论证明.有整数a,b,q,r使得a=bq+r,0≤r<b.即q为b除a的商,r为b除a的余数.试证:(a,b)=(b,r) ,即被除数与除数的最大公约数等于除数与余数的最大公约数.
数论证明.
有整数a,b,q,r使得a=bq+r,0≤r<b.即q为b除a的商,r为b除a的余数.
试证:(a,b)=(b,r) ,即被除数与除数的最大公约数等于除数与余数的最大公约数.
数论证明.有整数a,b,q,r使得a=bq+r,0≤r<b.即q为b除a的商,r为b除a的余数.试证:(a,b)=(b,r) ,即被除数与除数的最大公约数等于除数与余数的最大公约数.
因为a=bq+r,所以,a与b的任一公因子必能整除r,所以d=(a,b)也是b与r的公因子,所以(a,b)
仅说一下自己的想法 不一定是最好的方法
用反证法 设(a,b)=m,(b,r)=n 若m与n不相等则(m,n)=d,
令n=de,则(m,e)=1,a=m*x,b=m*e*y, r=d*e*z,
mx=meyq+dez,可知 由于(m,e)=1,所以e|x,
但(a,b)=me, 推出矛盾 则m=n
若(m,n)=n, ex=eyq+z,e|z,(b,r)=...
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仅说一下自己的想法 不一定是最好的方法
用反证法 设(a,b)=m,(b,r)=n 若m与n不相等则(m,n)=d,
令n=de,则(m,e)=1,a=m*x,b=m*e*y, r=d*e*z,
mx=meyq+dez,可知 由于(m,e)=1,所以e|x,
但(a,b)=me, 推出矛盾 则m=n
若(m,n)=n, ex=eyq+z,e|z,(b,r)=m, 矛盾
若(m,n)=m, x=eyq+ez,e|x,(a,b)=n, 矛盾
所以命题成立
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