是否存在实数a,使得函数y=acosx-cos²x+(5/8)a-1/2在闭区间【0,π/2】上的最大值是1?若存在,求出对应的a值,若不存在,试说明理由
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/26 03:22:58
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是否存在实数a,使得函数y=acosx-cos²x+(5/8)a-1/2在闭区间【0,π/2】上的最大值是1?若存在,求出对应的a值,若不存在,试说明理由
是否存在实数a,使得函数y=acosx-cos²x+(5/8)a-1/2在闭区间【0,π/2】上的最大值是1?若存在,求出对应的a值,若不存在,试说明理由
是否存在实数a,使得函数y=acosx-cos²x+(5/8)a-1/2在闭区间【0,π/2】上的最大值是1?若存在,求出对应的a值,若不存在,试说明理由
原式可变形为:y=-(cosX-a/2)^2+(2a^2+5a-4)/8
(1)当a/2≥1时,a≥2,此时cosX=1
Ymax=13a/8-3/2=1 ==>a=20/13 无解
(2)当a/2≤-1时,a≤-2,此时cosX=0
Ymax=5a/8-1/2=1 ==>a=12//5 无解
(3)当-1≤a/2≤1时,-2≤a≤2,此时cosX=a/2
Ymax=a^2+5a/8-1/2=1 ==>2a^2+5a+4=0 △
令cosx=t,属于0到1 看成二次函数
讨论对称轴在0左边,0到1之间,1右边三种情况
由相应最大值为1看是否有解
结果是不存在
y=acosx-cos²x+(5/8)a-1/2=-(cosx -a/2)+a²/4+5a/8-1/2;
当 x 取值不受限制时(cosx=a/2),y 有极大值 a²/4+5a/8-1/2,令 y 的极大值等于 1:
即 a²/4+5a/8-1/2=1,得 a=4,或 a=-3/2;
因前有极大值条件 cosx=a/2,上面 a 的...
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y=acosx-cos²x+(5/8)a-1/2=-(cosx -a/2)+a²/4+5a/8-1/2;
当 x 取值不受限制时(cosx=a/2),y 有极大值 a²/4+5a/8-1/2,令 y 的极大值等于 1:
即 a²/4+5a/8-1/2=1,得 a=4,或 a=-3/2;
因前有极大值条件 cosx=a/2,上面 a 的两个根均无法满足,所以 y 的最大值不是极值;
剩下的只有检验区间边界上的二次函数值:
若 y(0)=a-1+5a/8-1/2=1,则 a=20/13;y(π/2)=5*(20/13)/8-(1/2)=6/13;
所以 a=20/13 符合条件;
若 y(π/2)=0-0+5a/8-1/2=1,则 a=12/5;y(0)=a-1+5a/8-1/2=13*(12/5)/8-(3/2)=9/10;
所以 a=12/5 符合条件;
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撸主绝对是五中的孩子