作业帮放缩法证明
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 01:20:12
放缩法证明
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5（1）由a（n+1）=2（1+1/n）²·an有a（n+1）=2（n+1）²/n²·an
有a（n+1）/（n+1）²=2·an/n²可知[a（n+1）/（n+1）²]/[an/n²]=2
因此数列[an/n²]是为等比数列,公比为2,通项公式为[an/n²]=2^n,
可得数列[an]的通项公式为an=n²·2^n.
（2）由题可得：cn=n/an=1/（n·2^n）,Tn=c1+c2+c3+c4+…+cn将前四项计算并代入有：
Tn=1/2+1/4+1/24+1/64+…+cn=16/24+1/64+…+cn,
当n≥4时有cn=1/（n•2^n）≤1/（4·2^n）
令Sn=1/（4·2^4）+1/（4·2^5）+…+1/（4·2^n）因此有
Tn＜16/24+Sn,对Sn求极限得limSn=1/32（极限值求法：两边乘以2减原等式即可得）
故有Tn＜（16/24+1/32）＜（16/24+1/24）=17/24,所证成立.
4（1）形式变换：2/（an+a（n+1））=2/（n+（n+1））=1/[（n+（n+1））/2]
根据平方根不等式：a+b≥2√a√b（a≥0,b≥0,当且仅当a=b时等式成立）,
所以[（n+（n+1））/2]>√(n(n+1)>0,1/[（n+（n+1））/2]