已知a大于0且a≠1,试求使方程loga(x-ak)=loga²(x²-a²)有解的的取值范围
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/23 13:38:46
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已知a大于0且a≠1,试求使方程loga(x-ak)=loga²(x²-a²)有解的的取值范围
已知a大于0且a≠1,试求使方程loga(x-ak)=loga²(x²-a²)有解的的取值范围
已知a大于0且a≠1,试求使方程loga(x-ak)=loga²(x²-a²)有解的的取值范围
现用一个换底公式:
loga(x-ak)=lg(x-ak)/lga
loga²(x²-a²)=lg(x²-a²)/lga²=lg(x²-a²)/2lga
所以让两个式子相等,化简一下得:
lg(x-ak)=lg(x²-a²)/2
2lg(x-ak)=lg(x²-a²)
(x-ak)²=(x²-a²)
解得:x=a(k²+1)/2k
解析:由题设条件可知,原方程的解x应满足 (x-ak)^2=x^2-a^2---------------------------(!) x-ak>0---------------------------------------(2) x^2-a^2>0-----------------------------------(3) 当(1),(2)同时成立时,(3)显然成立,因此只需解 (x-ak)^2=x^2-a^2---------------------------(!) x-ak>0---------------------------------------(2) 再根据这个不等式组的解集并结合对数函数的性质可以求出k的取值范围. 由对数函数的性质可知, 原方程的解x应满足 (x-ak)^2=x^2-a^2---------------------------(!) x-ak>0---------------------------------------(2) x^2-a^2>0-----------------------------------(3) 当(1),(2)同时成立时,(3)显然成立, 因此只需解 (x-ak)^2=x^2-a^2---------------------------(!) x-ak>0---------------------------------------(2) 由(1)得2kx=a(1+k2)__------------------------(4) 当k=0时,由a>0知(4)无解,因而原方程无解. 当k≠0时,(4)的解是x= a(1+k^2)/2k ______(5) 把(5)代入(2),得 1+k^2/2k>k. 解得:-∞<k<-1或0<k<1. 综合得,当k在集合(-∞,-1)∪(0,1)内取值时,原方程有解. 故答案为:(-∞,-1)∪(0,1).