已知数列{An}和{Bn},对于一切正整数都有:A1Bn+A2Bn-1+A3Bn-2+.+AnB1=3^(n+1)-2n-3成立.I:如果数列An的通项公式为An=n,求证数列Bn是等比数列II:如果数列Bn是等比数列,数列An是否是等差数列,是,求其
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/26 03:36:13
![已知数列{An}和{Bn},对于一切正整数都有:A1Bn+A2Bn-1+A3Bn-2+.+AnB1=3^(n+1)-2n-3成立.I:如果数列An的通项公式为An=n,求证数列Bn是等比数列II:如果数列Bn是等比数列,数列An是否是等差数列,是,求其](/uploads/image/z/5931322-34-2.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E6%95%B0%E5%88%97%EF%BD%9BAn%7D%E5%92%8C%EF%BD%9BBn%EF%BD%9D%2C%E5%AF%B9%E4%BA%8E%E4%B8%80%E5%88%87%E6%AD%A3%E6%95%B4%E6%95%B0%E9%83%BD%E6%9C%89%EF%BC%9AA1Bn%2BA2Bn-1%2BA3Bn-2%2B.%2BAnB1%3D3%5E%28n%2B1%29-2n-3%E6%88%90%E7%AB%8B.I%EF%BC%9A%E5%A6%82%E6%9E%9C%E6%95%B0%E5%88%97An%E7%9A%84%E9%80%9A%E9%A1%B9%E5%85%AC%E5%BC%8F%E4%B8%BAAn%3Dn%2C%E6%B1%82%E8%AF%81%E6%95%B0%E5%88%97Bn%E6%98%AF%E7%AD%89%E6%AF%94%E6%95%B0%E5%88%97II%EF%BC%9A%E5%A6%82%E6%9E%9C%E6%95%B0%E5%88%97Bn%E6%98%AF%E7%AD%89%E6%AF%94%E6%95%B0%E5%88%97%2C%E6%95%B0%E5%88%97An%E6%98%AF%E5%90%A6%E6%98%AF%E7%AD%89%E5%B7%AE%E6%95%B0%E5%88%97%2C%E6%98%AF%2C%E6%B1%82%E5%85%B6)
已知数列{An}和{Bn},对于一切正整数都有:A1Bn+A2Bn-1+A3Bn-2+.+AnB1=3^(n+1)-2n-3成立.I:如果数列An的通项公式为An=n,求证数列Bn是等比数列II:如果数列Bn是等比数列,数列An是否是等差数列,是,求其
已知数列{An}和{Bn},对于一切正整数都有:A1Bn+A2Bn-1+A3Bn-2+.+AnB1=3^(n+1)-2n-3成立.
I:如果数列An的通项公式为An=n,求证数列Bn是等比数列
II:如果数列Bn是等比数列,数列An是否是等差数列,是,求其通项公式
已知数列{An}和{Bn},对于一切正整数都有:A1Bn+A2Bn-1+A3Bn-2+.+AnB1=3^(n+1)-2n-3成立.I:如果数列An的通项公式为An=n,求证数列Bn是等比数列II:如果数列Bn是等比数列,数列An是否是等差数列,是,求其
(1)依题意数列{an}的通项公式是an=n,
故等式即为bn+2b﹙n-1﹚+3b﹙n-2﹚+…+(n-1)b2+nb1=3^(n+1)-2n-3,
同时有b﹙n-1﹚+2b﹙n-2﹚+3b﹙n-3﹚+…+(n-2)b2+(n-1)b1=3^n-2n-1(n≥2),
两式相减可得bn+b﹙n-1﹚+…+b2+b1=2﹙3^n-1﹚=Sn,
b1=4
bn=Sn-S﹙n-1﹚=4*3^(n-1),b1=4满足此式
所以数列{bn}是首项为4,公比为3的等比数列.
(2)设等比数列{bn}的首项为b1,公比为q,则bn=b1*q^﹙n-1﹚,从而有:
b1*q^﹙n-1﹚*a1+b1*q^﹙n-2﹚*a2+b1*q^﹙n-3﹚*a3+…+b1q*a﹙n-1﹚+b1*an
=3^(n+1)-2n-3.①
又b1*q^(n-2)*a1+b1*q^(n-3)*a2+b1*q^(n-4)*a3+…+b1*a(n-1)=3^n-2n-1(n≥2).②,
故①式变为(3^n-2n-1)*q+b1an=3^(n+1)-2n-3,
an=﹛【3^(n+1)-2n-3】-[(3^n-2n-1)*q]﹜/b1
=[(3-q)*3^n+2n*(q-1)+(q-3)]/b1
显然,当q=3时,an=4n/b1……③
且由已知a1=4/b1满足③式,公差d=an-a(n-1)=1/b1
∴存在{an} 是等差数列 an=4n/b1
当q≠3时,数列{an}不是等差数列
1.令n=1 得Bn=4
A1Bn+A2Bn-1+A3Bn-2+.......+AnB1=3^(n+1)-2n-3
Bn+2Bn-1+3Bn-2+.......+nB1=3^(n+1)-2n-3
Bn-1+2Bn-2+.......+(n-1)B1=3^n-2n-1
Bn+Bn-1+Bn-2+.......+B1=2*...
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1.令n=1 得Bn=4
A1Bn+A2Bn-1+A3Bn-2+.......+AnB1=3^(n+1)-2n-3
Bn+2Bn-1+3Bn-2+.......+nB1=3^(n+1)-2n-3
Bn-1+2Bn-2+.......+(n-1)B1=3^n-2n-1
Bn+Bn-1+Bn-2+.......+B1=2*3^n-2
Bn-1+Bn-2+.......+B1=2*3^(n-1)-2
Bn=4*3^(n-1)
B1符合
数列Bn是以4为首项,公比为3的等比数列
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由题可知,A1Bn+1 + A2Bn + ……+ An+1B1=3^(n+2)-2(n+1)-3 作为第二式
与题目给的第一式相减,第二式的第二项减第一式的第一项,第二式的第三项减第一式的第2项……
最后可得 Bn+1 + Bn + Bn-1 +……+B1=2*3^(n+1)-2
再推一项得 Bn + Bn-1 +……+B1 =2*3^n-2
相减得到Bn+1=4*...
全部展开
由题可知,A1Bn+1 + A2Bn + ……+ An+1B1=3^(n+2)-2(n+1)-3 作为第二式
与题目给的第一式相减,第二式的第二项减第一式的第一项,第二式的第三项减第一式的第2项……
最后可得 Bn+1 + Bn + Bn-1 +……+B1=2*3^(n+1)-2
再推一项得 Bn + Bn-1 +……+B1 =2*3^n-2
相减得到Bn+1=4*3^n
第二问的方法类似,设Bn的公比为q,An公差为d,就可以解出来了,不懂再追问。
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