作业帮1+x+x的平方+x的3次方=0,求x+x的平方+x的3次方+.+x的2012次方
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 15:21:07
1+x+x的平方+x的3次方=0,求x+x的平方+x的3次方+.+x的2012次方
1+x+x的平方+x的3次方=0,求x+x的平方+x的3次方+.+x的2012次方
1+x+x的平方+x的3次方=0,求x+x的平方+x的3次方+.+x的2012次方
利用公式x^n-1=(x-1)[x^(n-1)+x^(n-2)+...+1]
1+x+x的平方+x的3次方=(x^4-1)/(x-1)=0
所以x^4-1=0
x^4=1
则x^2012=(x^4)^503=1^503=1
x+x的平方+x的3次方+.+x的2012
=1+x+x^2+.+x^2011+x^2012-1
=(x^2012-1)/(x-1)+x^2012-1
=(1-1)/(x-1)+1-1
=0
由1＋x＋x²＋x³=0代入原式，
将原式分组：按次序4个一组，
刚好分成503组，
而每一组的值通过提取公因式都能分成：
x^n×﹙1＋x＋x²＋x³﹚=0，
∴原式=0.
0
x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6+x^7+x^8+...............................+x^2009+x^2010+x^2011+x^2012
=X(1+x+x^2+X^3)+x^5(1+x+x^2+x^3)+............................+x^2009(1+x+x^2+x^3)
=0+0+.............................................................................0
=0
等式两边同乘以x－1得x^4-1=0，即x^4=1，于是要求的式子为（x+x^2+x^3）+x^4(1+x+x^2+x^3)+x^8(1+x+x^2+x^3)+....+x^2008(1+x+x^2+x^3)+x^2012=-1+0+0+...+0+1=0