在三角形ABC中,设三个角的对应边分别为a·b·c,向量n(2a+c,b),向量m(cosB,cosC),向量n与向量m垂直.(1)求∠B;(2)若a+2c=4,三角形面积为S,求S的最大值.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/23 00:07:54
![在三角形ABC中,设三个角的对应边分别为a·b·c,向量n(2a+c,b),向量m(cosB,cosC),向量n与向量m垂直.(1)求∠B;(2)若a+2c=4,三角形面积为S,求S的最大值.](/uploads/image/z/6074968-40-8.jpg?t=%E5%9C%A8%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2ABC%E4%B8%AD%2C%E8%AE%BE%E4%B8%89%E4%B8%AA%E8%A7%92%E7%9A%84%E5%AF%B9%E5%BA%94%E8%BE%B9%E5%88%86%E5%88%AB%E4%B8%BAa%C2%B7b%C2%B7c%2C%E5%90%91%E9%87%8Fn%EF%BC%882a%2Bc%2Cb%EF%BC%89%2C%E5%90%91%E9%87%8Fm%EF%BC%88cosB%2CcosC%EF%BC%89%2C%E5%90%91%E9%87%8Fn%E4%B8%8E%E5%90%91%E9%87%8Fm%E5%9E%82%E7%9B%B4.%EF%BC%881%EF%BC%89%E6%B1%82%E2%88%A0B%EF%BC%9B%EF%BC%882%EF%BC%89%E8%8B%A5a%2B2c%3D4%2C%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%E9%9D%A2%E7%A7%AF%E4%B8%BAS%2C%E6%B1%82S%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%80%BC.)
在三角形ABC中,设三个角的对应边分别为a·b·c,向量n(2a+c,b),向量m(cosB,cosC),向量n与向量m垂直.(1)求∠B;(2)若a+2c=4,三角形面积为S,求S的最大值.
在三角形ABC中,设三个角的对应边分别为a·b·c,向量n(2a+c,b),向量m(cosB,cosC),向量n与向量m垂直.(1)求∠B;(2)若a+2c=4,三角形面积为S,求S的最大值.
在三角形ABC中,设三个角的对应边分别为a·b·c,向量n(2a+c,b),向量m(cosB,cosC),向量n与向量m垂直.(1)求∠B;(2)若a+2c=4,三角形面积为S,求S的最大值.
向量n与向量m垂直,则
m*n=(2a+c)cosB+b*cosC=0,
b/cosB=-(2a+c)/cosC,
由正弦定理,可得:
sinB/cosB=-(2sinA+sinC)/cosC,
tanB+tanC=-2sinA/cosC,tan(B+C)*[1-tanB*tanC]=-2sin(B+C)/cosC,
cosC*[1-tanB*tanC]=-2cos(B+C),
cosC-sinB*sinC/cosB=-2(cosB*cosC-sinB*sinC),
(1+2cosB)*(cosC-tanB*sinC)=0,
所以cosB=-1/2,或 tanB*tanC-1=0,
B=2π/3,或 cos(B+C)=0 ,(B+C=0,或π,不符题意,舍去)
所以B=2π/3.
因为B=2π/3,
S=1/2*ac*sinB=√3/4*ac,
而a+2c=4,且a>0,c>0,所以
√(a*2c)
【1】∠B=120º.【2】Smax=(√3)/2.