作业帮f(x)=arcsinx/根号(1-x^2) 求f(x)的n阶导数在x=0处的值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 01:09:04
f(x)=arcsinx/根号(1-x^2) 求f(x)的n阶导数在x=0处的值
f(x)=arcsinx/根号(1-x^2) 求f(x)的n阶导数在x=0处的值
f(x)=arcsinx/根号(1-x^2) 求f(x)的n阶导数在x=0处的值
这题有点技巧,略解供参考
(arcsinx)'=1/根号(1-x^2)，所以上述函数的n阶导数即一般的多项式，写出前几阶的导数，总结出n阶的一般式是简便的方法
y=1/根号(1-x^2) 展开=1+sigema[(2n-1)!!x^(2n)/(n!2^n)]
y=arcsinx展开=x+sigema[(2n-1)!!x^(2n+1)/(n!2^n(2n+1))]
f(x)=arcsinx/根号(1-x^2) ={x+sigema[(2n-1)!!x^(2n+1)/(n!2^n(2n+1))]}*
{1+sigema[(2n-1)!!x^(2n)/(n!2^n)]} (|x|<1)
=x+a1x^3+.......anx^(2n+1)+.......
可求出an
f(x)=u(x)*v(x),
u(x)=arcsin(x),
v(x)=1/√（1-x^2）,
u’(x)=1/√（1-x^2）,
v’(x)=(-1/2)*(-2X)*(1-x^2)^(-3/2)
=x(1-x^2)^(-3/2)，
u’(x)=v(x),
u"(x)=v’(x),u的n阶导数等于v的n-1阶导数，
f’(x)=u...
全部展开
f(x)=u(x)*v(x),
u(x)=arcsin(x),
v(x)=1/√（1-x^2）,
u’(x)=1/√（1-x^2）,
v’(x)=(-1/2)*(-2X)*(1-x^2)^(-3/2)
=x(1-x^2)^(-3/2)，
u’(x)=v(x),
u"(x)=v’(x),u的n阶导数等于v的n-1阶导数，
f’(x)=u’(x)*v(x)+u(x)*v’(x)
=1/(1-x^2)+arcsin(x)(-1/2)*(1-x^2)^(-3/2)(-2x)
=1/(1-x^2)+x*arcsinx(1-x^2)^(-3/2)，
当一阶导数时，x=0处值为1，
当二阶导数时，x=0,各项均为0，即f(x)二阶导数在x=0处是0 。
根据莱布尼兹高阶导数公式，
n阶导数f(x)=u’(n)v(x)+nu’(n-1)v’(1)+[n(n-1)/(1*2)]u’(n-2)v’(2)+….
+u(x)v’(n),………..(1)
其中括号内的n和数字表示导数阶数，’表示导数，
u"(x)=v’(x)=x(1-x^2)^(-3/2),
u"'(x)=v"(x)=(1-x^2)^(-3/2)+3x(1-x^2)^(-5/2),
…………,
u’(n)(x)=v’(n-1)(x)，当n为奇数时，第一项√(1-x^2)负乘方项没有与x相乘，当x=0时，为1，
u’(n)(x)=v’(n-1)(x)，当n为偶数时，第一项√(1-x^2)负乘方项与x相乘，当x=0时，为0，
u的n阶导数就是v的n-1阶导数，
可以发现，当n是偶数时，u的导数中含有(1-x^2)^（-n/2）与x的乘积项，因而第1、3、5…等奇数项为0，而相应的v则少一阶导数，对应u是奇数阶导数，前面含 有(1-x^2)^(-n /2),虽该项为1，但相乘仍为0，只剩最后一项u(x)v’(n)=arcsin0*v’(n)=0,故当n为偶数时，f(x)的n阶导数在x=0处为0。
当n是奇数时，u的导数中第一项没有(1-x^2)^（-n/2）与x的乘积项，因而第1项应为1，同时v(x)=1/√(1-x^2)，故第一项为1，其它项均为0。
总之，当n为偶数时，f(x)n阶导数在x=0处为0，
当n为奇数时，f(x)n阶导数在x=0处为1。
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