导数 y=a^x导数证明中的步骤?y=a^x,Δy=a^(x+Δx)-a^x=a^x(a^Δx-1)Δy/Δx=a^x(a^Δx-1)/Δx如果直接令Δx→0,是不能导出导函数的,必须设一个辅助的函数β=a^Δx-1通过换元进行计算.由设的辅助函数可以知道:
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/22 02:49:04
![导数 y=a^x导数证明中的步骤?y=a^x,Δy=a^(x+Δx)-a^x=a^x(a^Δx-1)Δy/Δx=a^x(a^Δx-1)/Δx如果直接令Δx→0,是不能导出导函数的,必须设一个辅助的函数β=a^Δx-1通过换元进行计算.由设的辅助函数可以知道:](/uploads/image/z/6574057-25-7.jpg?t=%E5%AF%BC%E6%95%B0+y%3Da%5Ex%E5%AF%BC%E6%95%B0%E8%AF%81%E6%98%8E%E4%B8%AD%E7%9A%84%E6%AD%A5%E9%AA%A4%3Fy%3Da%5Ex%2C%CE%94y%3Da%5E%28x%2B%CE%94x%29-a%5Ex%3Da%5Ex%28a%5E%CE%94x-1%29%CE%94y%2F%CE%94x%3Da%5Ex%28a%5E%CE%94x-1%29%2F%CE%94x%E5%A6%82%E6%9E%9C%E7%9B%B4%E6%8E%A5%E4%BB%A4%CE%94x%E2%86%920%2C%E6%98%AF%E4%B8%8D%E8%83%BD%E5%AF%BC%E5%87%BA%E5%AF%BC%E5%87%BD%E6%95%B0%E7%9A%84%2C%E5%BF%85%E9%A1%BB%E8%AE%BE%E4%B8%80%E4%B8%AA%E8%BE%85%E5%8A%A9%E7%9A%84%E5%87%BD%E6%95%B0%CE%B2%3Da%5E%CE%94x-1%E9%80%9A%E8%BF%87%E6%8D%A2%E5%85%83%E8%BF%9B%E8%A1%8C%E8%AE%A1%E7%AE%97.%E7%94%B1%E8%AE%BE%E7%9A%84%E8%BE%85%E5%8A%A9%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%8F%AF%E4%BB%A5%E7%9F%A5%E9%81%93%EF%BC%9A)
导数 y=a^x导数证明中的步骤?y=a^x,Δy=a^(x+Δx)-a^x=a^x(a^Δx-1)Δy/Δx=a^x(a^Δx-1)/Δx如果直接令Δx→0,是不能导出导函数的,必须设一个辅助的函数β=a^Δx-1通过换元进行计算.由设的辅助函数可以知道:
导数 y=a^x导数证明中的步骤?
y=a^x,
Δy=a^(x+Δx)-a^x=a^x(a^Δx-1)
Δy/Δx=a^x(a^Δx-1)/Δx
如果直接令Δx→0,是不能导出导函数的,必须设一个辅助的函数β=a^Δx-1通过换元进行计算.由设的辅助函数可以知道:Δx=loga(1+β).
所以(a^Δx-1)/Δx=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β
显然,当Δx→0时,β也是趋向于0的.而limβ→0时,(1+β)^1/β=e,所以limβ→0时,1/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna.
把这个结果代入limΔx→0时,Δy/Δx=limΔx→0时,a^x(a^Δx-1)/Δx后得到limΔx→0Δy/Δx=a^xlna.
可以知道,当a=e时有y=e^x y'=e^x.
以上是证明y=a^x的导数的有关过程
请问 (a^Δx-1)/Δx=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β是什么意思 还有为什么limβ→0时,(1+β)^1/β=e,
导数 y=a^x导数证明中的步骤?y=a^x,Δy=a^(x+Δx)-a^x=a^x(a^Δx-1)Δy/Δx=a^x(a^Δx-1)/Δx如果直接令Δx→0,是不能导出导函数的,必须设一个辅助的函数β=a^Δx-1通过换元进行计算.由设的辅助函数可以知道:
(a^Δx-1)/Δx=β/loga(1+β)=1/loga[(1+β)^(1/β)]
β→0时,lim ln[(1+β)^1/β]=lim [ln(1+β)/β]=lim [ln(1+β)]'/(β)'=lim1/(1+β)=1,
所以β→0时,lim [(1+β)^(1/β)]=e,
其实如果可用(ln x)'=1/x,则y=a^x,lny=xlna,(lny)'=y'/y=(xlna)'=lna,所以y'=ylna=lna*a^x