作业帮正三角形ABC的边长为a,点P Q R分别为边BC.CA.AB上的点 且满足BP+CQ+AR=a（1）求三角形PQR面积S（x y z）的表达式（2）求S(X Y Z)的最大值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 10:48:45
正三角形ABC的边长为a,点P Q R分别为边BC.CA.AB上的点 且满足BP+CQ+AR=a（1）求三角形PQR面积S（x y z）的表达式（2）求S(X Y Z)的最大值
正三角形ABC的边长为a,点P Q R分别为边BC.CA.AB上的点 且满足BP+CQ+AR=a
（1）求三角形PQR面积S（x y z）的表达式
（2）求S(X Y Z)的最大值
正三角形ABC的边长为a,点P Q R分别为边BC.CA.AB上的点 且满足BP+CQ+AR=a（1）求三角形PQR面积S（x y z）的表达式（2）求S(X Y Z)的最大值
S（x y z）
=三角形ABC面积-三角形ARQ面积-三角形BRP面积-三角形CPQ面积
=((根号3)/4)a^2-((根号3)/4)z(a-y)-((根号3)/4)x(a-z)-((根号3)/4)y(a-x)
=((根号3)/4)(a^2+(xy+yz+zx)-a(x+y+z))
=((根号3)/4)(a^2+(xy+yz+zx)-a^2)
=((根号3)/4)(xy+yz+zx)
因:(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2>=0
所以:x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx
而:x+y+z=a
(x+y+z)^2=a^2
(x^2+y^2+z^2)+2(xy+yz+zx)=a^2
(xy+yz+zx)+2(xy+yz+zx)
S（x y z）
=三角形ABC面积-三角形ARQ面积-三角形BRP面积-三角形CPQ面积
=((根号3)/4)a^2-((根号3)/4)z(a-y)-((根号3)/4)x(a-z)-((根号3)/4)y(a-x)
=((根号3)/4)(a^2+(xy+yz+zx)-a(x+y+z))
=((根号3)/4)(a^2+(xy+yz+zx)-a^2)
=((根号...
全部展开
S（x y z）
=三角形ABC面积-三角形ARQ面积-三角形BRP面积-三角形CPQ面积
=((根号3)/4)a^2-((根号3)/4)z(a-y)-((根号3)/4)x(a-z)-((根号3)/4)y(a-x)
=((根号3)/4)(a^2+(xy+yz+zx)-a(x+y+z))
=((根号3)/4)(a^2+(xy+yz+zx)-a^2)
=((根号3)/4)(xy+yz+zx)
因:(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2>=0
所以:x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx
而:x+y+z=a
(x+y+z)^2=a^2
(x^2+y^2+z^2)+2(xy+yz+zx)=a^2
(xy+yz+zx)+2(xy+yz+zx)<=a^2
xy+yz+zx<=(a^2)/3
所以:S（x y z）=((根号3)/4)(xy+yz+zx)<=((根号3)/12)a^2
S(X Y Z)的最大值=((根号3)/12)a^2
此时x=y=z=a/3
收起
ABC面积S＝√3/4*a＾2
连RC，即知BRP面积为S/a/a*（a－z）＊x
同理可得ARQ面积S/a/a*（a－y）＊z ，CPQ面积S/a/a*（a－x）＊y
所以PQR面积＝S－S/a/a*（（a－x）＊y+（a－y）＊z+（a－z）＊x）＝S(1-(x+y+z)/a+(xy+yz+zx)/a/a)=S/a^2*(xy+yz+zx)
=√3/4*（xy...
全部展开
ABC面积S＝√3/4*a＾2
连RC，即知BRP面积为S/a/a*（a－z）＊x
同理可得ARQ面积S/a/a*（a－y）＊z ，CPQ面积S/a/a*（a－x）＊y
所以PQR面积＝S－S/a/a*（（a－x）＊y+（a－y）＊z+（a－z）＊x）＝S(1-(x+y+z)/a+(xy+yz+zx)/a/a)=S/a^2*(xy+yz+zx)
=√3/4*（xy+yz+zx）≤(x+y+z)^2*1/3*√3/4=√3/12*a^2 ,其中等号在x=y=z时取到.
收起