设S1、S2、S3是三个由整数组成的非空集合,已知对于1,2,3的任意一个排列i,j,k.如果x∈Si,y∈Sj,则x-y∈Sk.(1)求证:这三个集合中至少有两个相等;(2)这三个集合中是否可能有两个集合无公共
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/21 09:58:54
![设S1、S2、S3是三个由整数组成的非空集合,已知对于1,2,3的任意一个排列i,j,k.如果x∈Si,y∈Sj,则x-y∈Sk.(1)求证:这三个集合中至少有两个相等;(2)这三个集合中是否可能有两个集合无公共](/uploads/image/z/6842500-52-0.jpg?t=%E8%AE%BES1%E3%80%81S2%E3%80%81S3%E6%98%AF%E4%B8%89%E4%B8%AA%E7%94%B1%E6%95%B4%E6%95%B0%E7%BB%84%E6%88%90%E7%9A%84%E9%9D%9E%E7%A9%BA%E9%9B%86%E5%90%88%2C%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%AF%B9%E4%BA%8E1%2C2%2C3%E7%9A%84%E4%BB%BB%E6%84%8F%E4%B8%80%E4%B8%AA%E6%8E%92%E5%88%97i%2Cj%2Ck.%E5%A6%82%E6%9E%9Cx%E2%88%88Si%2Cy%E2%88%88Sj%2C%E5%88%99x-y%E2%88%88Sk.%EF%BC%881%EF%BC%89%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9A%E8%BF%99%E4%B8%89%E4%B8%AA%E9%9B%86%E5%90%88%E4%B8%AD%E8%87%B3%E5%B0%91%E6%9C%89%E4%B8%A4%E4%B8%AA%E7%9B%B8%E7%AD%89%EF%BC%9B%EF%BC%882%EF%BC%89%E8%BF%99%E4%B8%89%E4%B8%AA%E9%9B%86%E5%90%88%E4%B8%AD%E6%98%AF%E5%90%A6%E5%8F%AF%E8%83%BD%E6%9C%89%E4%B8%A4%E4%B8%AA%E9%9B%86%E5%90%88%E6%97%A0%E5%85%AC%E5%85%B1)
设S1、S2、S3是三个由整数组成的非空集合,已知对于1,2,3的任意一个排列i,j,k.如果x∈Si,y∈Sj,则x-y∈Sk.(1)求证:这三个集合中至少有两个相等;(2)这三个集合中是否可能有两个集合无公共
设S1、S2、S3是三个由整数组成的非空集合,已知对于1,2,3的任意一个排列i,j,k.如果x∈Si,y∈Sj,则x-y∈Sk.
(1)求证:这三个集合中至少有两个相等;
(2)这三个集合中是否可能有两个集合无公共元素?请说明理由
设S1、S2、S3是三个由整数组成的非空集合,已知对于1,2,3的任意一个排列i,j,k.如果x∈Si,y∈Sj,则x-y∈Sk.(1)求证:这三个集合中至少有两个相等;(2)这三个集合中是否可能有两个集合无公共
(1)分两步来证:
(i) 证明:0在这三个集合中,取k为三个集合中的最小的非负数,下面证明k=0
反证:若k>0,则此时三集合中任何元素互不相等,
不妨设k∈S1,取正数b∈S2,则b-k∈S3,且b-k>0(因为k是最小正数,因此有b>k),
(注意:既然b-k是正数,所以b-k>k)
由b-k∈S3,k∈S1,则b-2k∈S2,又由于k是最小正数,则b-k>k,这样得到b-2k>0,
同理,b-3k∈S3,且b-3k>0,
b-4k∈S2,且b-4k>0
b-5k∈S3,且b-5k>0
.
这样可以无穷做下去,但由于k为正数,这显然是不可能的,因此集合中最小非负数必为0.
(ii) 不妨设0∈S1,下面证明S2=S3
很简单,任取x∈S2,由于0∈S1,则x-0∈S3,即x∈S3
任取y∈S3,由于0∈S1,则y-0∈S2,即y∈S2,这样S2=S3
也就是说,0在哪个集合中,另两个集合必相同.
(2)存在
例如,S1=S2={全体奇数},S3={全体偶数},此时条件成立.此时S1与S3无公共元素.