对所有整数N≥1,都有2∧N>N(2∧N表示2的N次方)给出详细的代数证明,
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/25 11:42:21
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对所有整数N≥1,都有2∧N>N(2∧N表示2的N次方)给出详细的代数证明,
对所有整数N≥1,都有2∧N>N(2∧N表示2的N次方)
给出详细的代数证明,
对所有整数N≥1,都有2∧N>N(2∧N表示2的N次方)给出详细的代数证明,
设F(N)=2^N-N
对函数进行求导,F'(N)>0
所以函数F(N)是递增的
当N=1时 F(1)=2-1=1>0
所以N>1时,F(N)>0
所以N≥1 都有2^N>N
给个分析证明吧:
令f(x)=2^x-x
则
f'(x)=(2^x)ln2-1>2ln2-1>0 (x≥1)
所以f(x)在x≥1时严格增
故f(x)>f(0)=1>0
因此
2^x>x
特别的,对于任意正整数N,有2^N>N
好吧,再给出代数证明:
2^N
=2^{N-1}+2^{N-1}
...
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给个分析证明吧:
令f(x)=2^x-x
则
f'(x)=(2^x)ln2-1>2ln2-1>0 (x≥1)
所以f(x)在x≥1时严格增
故f(x)>f(0)=1>0
因此
2^x>x
特别的,对于任意正整数N,有2^N>N
好吧,再给出代数证明:
2^N
=2^{N-1}+2^{N-1}
=2^{N-1}+2^{N-2}+2^{N-2}
=2^{N-1}+2^{N-2}+2^{N-3}+2^{N-3}
=...
=2^{N-1}+2^{N-2}+2^{N-3}+...+2^{N-(N-1)}+2^{N-(N-1)}
=(2^{N-1}+2^{N-2}+2^{N-3}+...+2^1)+2^1 一共有N项,且每一项都>1
>1+1+...+1 N个1
=N
收起
请问一下这是几年级的数学啊。