四点A,B,C,D不共面是其中任意三点不共线的充分不必要条件,是怎么得出来的?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/21 18:05:21
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四点A,B,C,D不共面是其中任意三点不共线的充分不必要条件,是怎么得出来的?
四点A,B,C,D不共面是其中任意三点不共线的充分不必要条件,是怎么得出来的?
四点A,B,C,D不共面是其中任意三点不共线的充分不必要条件,是怎么得出来的?
比如:证明空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是:对于空间任一点O,存在实数x、y、z且x+y+z=1,使得 \x05OA =xOB +yOC +zOD .
(必要性)依题意知,B、C、D三点不共线,
则由共面向量定理的推论知:四点A、B、C、D共面
⇔对空间任一点O,存在实数x1、y1,使得 \x05OA = \x05OB +x1 \x05BC +y1 \x05BD
= \x05OB +x1( \x05OC - \x05OB )+y1( \x05OD - \x05OB )
=(1-x1-y1) \x05OB +x1 \x05OC +y1 \x05OD ,
取x=1-x1-y1、y=x1、z=y1,
则有 \x05OA =x \x05OB +y \x05OC +z \x05OD ,且x+y+z=1.
(充分性)对于空间任一点O,存在实数x、y、z且x+y+z=1,使得 \x05OA =x \x05OB +y \x05OC +z \x05OD .
所以x=1-y-z得 \x05OA =(1-y-z) \x05OB +y \x05OC +z \x05OD .
OA = \x05OB +y \x05BC +z \x05BD ,即:\x05BA =y \x05BC +z \x05BD ,
所以四点A、B、C、D共面.
所以,空间任意无三点共线的四点A、B、C、D共面的充分必要条件是:
对于空间任一点O,存在实数x、y、z且x+y+z=1,使得 \x05OA =x \x05OB +y \x05OC +z \x05OD .