四棱锥S-ABCD的底面是正方形,SD⊥平面ABCD,SD=2,AD=√2,E是SD上一点.1:求证,AC⊥BE.2求二面角C-AS-D的余悬.大师解答,高分悬赏
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/22 08:04:01
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四棱锥S-ABCD的底面是正方形,SD⊥平面ABCD,SD=2,AD=√2,E是SD上一点.1:求证,AC⊥BE.2求二面角C-AS-D的余悬.大师解答,高分悬赏
四棱锥S-ABCD的底面是正方形,SD⊥平面ABCD,SD=2,AD=√2,E是SD上一点.
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四棱锥S-ABCD的底面是正方形,SD⊥平面ABCD,SD=2,AD=√2,E是SD上一点.1:求证,AC⊥BE.2求二面角C-AS-D的余悬.大师解答,高分悬赏
1.证明:连结AC.BD
由于底面是正方形,所以:AC⊥BD
因为SD⊥平面ABCD,AC在平面ABCD内
所以:SD⊥AC
这就是说AC垂直于平面SBD内的两条相交直线BD.SD
则AC⊥平面SBD
又BE在平面SBD内,所以:
AC⊥BE
2.过点D作DF⊥SA,垂足为F,连结FC
因为SD⊥平面ABCD,所以:SD⊥CD
又CD⊥AD,所以:
CD⊥平面SAD
则CF在平面SAD内的射影为DF
因为DF⊥SA,所以:三垂线定理可得CF⊥SA
则∠CFD就是二面角C-AS-D的平面角
在Rt△SAD中:SD=2,AD=√2,则由勾股定理得SA=√6
又SRt△SAD=(1/2)×SD×AD=(1/2)×DF×SA
则有:DF=SD×AD/SA=2(√3)/3
所以在Rt△CFD中,CD=√2,由勾股定理有:
CF=√(CD²+DF²)=√(2+4/3)=(√30)/3
所以:cos∠CFD=DF/CF=[2(√3)/3]/[(√30)/3]=(√10)/5
即二面角C-AS-D的余弦值为(√10)/5
法一(Ⅰ)连接BD.因为底面ABCD是正方形,
所以AC⊥BD.因为SD⊥平面ABCD,
AC⊂平面ABCD,所以AC⊥SD. (2分)
又因为SD∩BD=D,所以AC⊥平面BDS. (4分)
因为BE⊂平面BDS,所以AC⊥BE. (6分)
(Ⅱ)因为SD⊥平面ABCD,所以SD⊥CD.
因为底面ABCD是正方形,所以AD⊥...
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法一(Ⅰ)连接BD.因为底面ABCD是正方形,
所以AC⊥BD.因为SD⊥平面ABCD,
AC⊂平面ABCD,所以AC⊥SD. (2分)
又因为SD∩BD=D,所以AC⊥平面BDS. (4分)
因为BE⊂平面BDS,所以AC⊥BE. (6分)
(Ⅱ)因为SD⊥平面ABCD,所以SD⊥CD.
因为底面ABCD是正方形,所以AD⊥CD.
又因为SD∩AD=D,所以CD⊥平面SAD,
所以CD⊥AS. (8分)
过点D在平面SAD内作DF⊥AS于F,连接CF.
由于,DF∩CD=D,所以AS⊥平面DCF.所以AS⊥CF.
故∠CFD是二面角C-AS-D的平面角. (10分)
在Rt△ADS中,SD=2,AD=2,可求得DF=233.
在Rt△CFD中,DF=233,CD=2,可求得CF=303.
所以cosCFD=DFCF=105.即二面角C-AS-D的余弦值为105.(12分)
法二:(Ⅰ)如图以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz.
则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),
C(0,2,0),E(0,0,2),S(0,0,2),
AC→=(-2,2,0),BE→=(-2,-2,2). (3分)
AC→•BE→=2-2+0=0,所以AC→⊥BE→.即AC⊥BE. (6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)得SA→=(2,0,-2),SĈ=(0,2,-2).
设平面ACS的法向量为n→=(x,y,z),
则由n⊥SA→,n⊥SC→得{n→•SA→=0n→•SC→=0,即{2x-2z=02y-2z=0
取z=2,得n→=(2,2,2). (9分)
易知平面ASD的一个法向量为DC→=(0,2,0).
设二面角C-AS-D的平面角为θ.则cosθ=n→•DC→|n→||DC→|=105.
即二面角C-AS-D的余弦值为105. (12分)
收起
因为SD垂直面ABCD,所以SD垂直AC 又因为ABCD为正方形,所以AC垂直BD,所以AC垂直面SBD(和俩条相交直线垂直则和面垂直)所以AC⊥BE(和面垂直则和面内直线垂直)