试证明关于X的方程 [n(1+X)^(n-1)+(1+X)^n] / [(n+1)(1+X)^n+(1+X)^(n+1)] =[ (2^n)-1] / [ (2^(n+1) -1] 在区间(0,2)上有唯一实数根;记此根为X(n),求X(n)的最大值小弟我是重点中学尖子班的学生,也不会做此题
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/16 15:51:50
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试证明关于X的方程 [n(1+X)^(n-1)+(1+X)^n] / [(n+1)(1+X)^n+(1+X)^(n+1)] =[ (2^n)-1] / [ (2^(n+1) -1] 在区间(0,2)上有唯一实数根;记此根为X(n),求X(n)的最大值小弟我是重点中学尖子班的学生,也不会做此题
试证明关于X的方程 [n(1+X)^(n-1)+(1+X)^n] / [(n+1)(1+X)^n+(1+X)^(n+1)] =[ (2^n)-1] / [ (2^(n+1) -1] 在区间(0,2)上有唯一实数根;记此根为X(n),求X(n)的最大值
小弟我是重点中学尖子班的学生,也不会做此题……这说明什么?
有哪位数学王子想要证明自己的实力?来小试一番,这可是个难得的机会呀。
(二楼的,实根存在 我原本就证出来了,关键 是它的最值不好求。所以抱歉,分不能给你)
试证明关于X的方程 [n(1+X)^(n-1)+(1+X)^n] / [(n+1)(1+X)^n+(1+X)^(n+1)] =[ (2^n)-1] / [ (2^(n+1) -1] 在区间(0,2)上有唯一实数根;记此根为X(n),求X(n)的最大值小弟我是重点中学尖子班的学生,也不会做此题
整理上式得 f(x)=(n+1+x)/((1+x)(n+2+x))-[ (2^n)-1] / [ (2^(n+1) -1]
求导 f(x)‘=0 仅看分子
(1+x)(n+2+x)-(n+1+x)(n+2+x+1+x)=0
x^2+2(n+1)x+n^2+3n+1=0
求得x
先化简,为了好写一点,设[ (2^n)-1] / [ (2^(n+1) -1]=an,1+X=y,化去(1+X)^(n-1)则有
[n(1+X)^(n-1)+(1+X)^n] / [(n+1)(1+X)^n+(1+X)^(n+1)]=(n+y)/[(n+1)y+y^2]=an,整理得any^2+[an(n+1)-1]y-n=0,求导有y‘=2any+an(n+1)-1=(2y+n+1)an...
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先化简,为了好写一点,设[ (2^n)-1] / [ (2^(n+1) -1]=an,1+X=y,化去(1+X)^(n-1)则有
[n(1+X)^(n-1)+(1+X)^n] / [(n+1)(1+X)^n+(1+X)^(n+1)]=(n+y)/[(n+1)y+y^2]=an,整理得any^2+[an(n+1)-1]y-n=0,求导有y‘=2any+an(n+1)-1=(2y+n+1)an-1,因为y为(1,3)1/3<=an<1/2故y‘显然大于0.即递增。又代入y=1,原式=an+[an(n+1)-1]-n=(n+2)【an-(n+1)/(n+2)】<0【因为2/3《(n+1)/(n+2)《1】同理代入y=3,有原式=9an+3an(n+1)-3-n>=3+n+1-3-n>0,即有F(1)<0,F(3)>0且单调递增,故在(1,3)有且仅有一个实数根使得F(y)=0.即在区间(0,2)上有唯一实数根;至于第二问太难算了,你自己先算算吧
收起
去问一下拉格朗日 莱布尼兹 或是牛顿吧 他们应该是会的
费脑子,分太少
试试:
转化为二次函数,求二次函数的跟,然后对根进行讨论。