证明 a∧2+b∧2+c∧2+3abc/2≥9/2其中a,b,c均为正数,且a+b+c=3

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/09 14:18:48

证明 a∧2+b∧2+c∧2+3abc/2≥9/2其中a,b,c均为正数,且a+b+c=3
证明 a∧2+b∧2+c∧2+3abc/2≥9/2
其中a,b,c均为正数,且a+b+c=3

证明 a∧2+b∧2+c∧2+3abc/2≥9/2其中a,b,c均为正数,且a+b+c=3
要证a^2+b^2+c^2+(3/2)abc≥9/2
即证2(a^2+b^2+c^2)+3abc≥9
即证2[(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)]+3abc≥9（注意到(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2-2(ab+bc+ca)）
即证9-4(ab+bc+ca)+3abc≥0（注意到a+b+c=3）
即证9-4ab-4c(a+b)+3abc≥0
即证9-4ab-4c(3-c)+3abc≥0（注意到a+b=3-c）
即证(4-3c)ab≤4c^2-12c+9
即证(4-3c)ab≤(2c-3)^2
若4-3c0
显然上式恒成立
若4-3c≥0
因ab≤(a+b)^2/4（基本不等式）
即ab≤(3-c)^2/4（注意到a+b=3-c）
则(4-3c)ab≤(4-3c)(3-c)^2/4
于是要证(4-3c)ab≤(2c-3)^2
即证(4-3c)(3-c)^2/4≤(2c-3)^2
即证c^3-2c^2+c≥0
即证c(c-1)^2≥0（注意到c>0）
即证(c-1)^2≥0
显然(c-1)^2≥0恒成立
综上知a^2+b^2+c^2+(3/2)abc≥9/2

易见其等价于齐次不等式: 2(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)+9abc ≥ (a+b+c)^3.
展开得a^3+b^3+c^3+3abc ≥ a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2.
这就是Schur不等式.
证明不妨设a ≤ b ≤ c, 展开(c-b)(c(c-a)-b(b-a))+a(c-a)(b-a) ≥ 0即得.

证明(a∧2sinBsinC)/(2sin(B+C))是三角形ABC的面积.abc是边,ABC是角. 在三角形ABC中,边a,b,c成等比数列(即b∧2=a*c).请证明: tan(A/2)tan(C/2)≥1/3 证明a^2+b^2+c^2≥3abc 设abc都是正实数,证明a/b+c+b/a+c+c/a+b大于等于3/2 设abc都是正实数,证明a/b+c+b/a+c+c/a+b大于等于3/2 设abc都是正实数,证明a/b+c+b/a+c+c/a+b大于等于3/2 设abc都是正实数,证明a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)大于等于3/2 证明：对任意正数a,b,c,成立abc^2 证明 a∧2+b∧2+c∧2+3abc/2≥9/2其中a,b,c均为正数,且a+b+c=3 证明a^2+b^2-2ab ≥a^3+b^3+c^3-3abc abc∈[0,2]证明4a+b∧2+c∧2+abc≥2ab+2bc+2ac 证明（a^2+b^2)(b^2+c^2)(a^2+c^2)>8abc (a+b+c)i*(a^2+b^2+c^2)大于等于9abc 证明下已知abc∈R+,a+b+c=1,证明a^2+b^2+c^2>=1/3 证明题（因式分解）证明(a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)=a^3(b+c)+b^3(c+a)+c^3(a+b)+abc(a+b+c) 设a,b,c是3个不同的正整数,正整数k满足ab+bc+ac≥3k∧2-1,证明：a∧3+b∧3+c∧3≥3abc+9k. 已知a>0,b>0,c>0,证明a2+b2+c2≥3(abc)2/3 a²+b²+c²≥3(abc)^(2/3)求证明!