一道等比数列的题目18设等比数列{an}的各项均为正值,首项a1=1/2,前n项和为Sn,且S30(2^10)-((2^10)+1)S20+S10=0.求1{an}的通项公式2{nSn}的前n项和Tn
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/23 14:20:43
![一道等比数列的题目18设等比数列{an}的各项均为正值,首项a1=1/2,前n项和为Sn,且S30(2^10)-((2^10)+1)S20+S10=0.求1{an}的通项公式2{nSn}的前n项和Tn](/uploads/image/z/7991013-21-3.jpg?t=%E4%B8%80%E9%81%93%E7%AD%89%E6%AF%94%E6%95%B0%E5%88%97%E7%9A%84%E9%A2%98%E7%9B%AE18%E8%AE%BE%E7%AD%89%E6%AF%94%E6%95%B0%E5%88%97%EF%BD%9Ban%EF%BD%9D%E7%9A%84%E5%90%84%E9%A1%B9%E5%9D%87%E4%B8%BA%E6%AD%A3%E5%80%BC%2C%E9%A6%96%E9%A1%B9a1%3D1%2F2%2C%E5%89%8Dn%E9%A1%B9%E5%92%8C%E4%B8%BASn%2C%E4%B8%94S30%282%5E10%29-%EF%BC%88%EF%BC%882%5E10%EF%BC%89%2B1%EF%BC%89S20%2BS10%3D0.%E6%B1%821%EF%BD%9Ban%EF%BD%9D%E7%9A%84%E9%80%9A%E9%A1%B9%E5%85%AC%E5%BC%8F2%EF%BD%9BnSn%EF%BD%9D%E7%9A%84%E5%89%8Dn%E9%A1%B9%E5%92%8CTn)
一道等比数列的题目18设等比数列{an}的各项均为正值,首项a1=1/2,前n项和为Sn,且S30(2^10)-((2^10)+1)S20+S10=0.求1{an}的通项公式2{nSn}的前n项和Tn
一道等比数列的题目18
设等比数列{an}的各项均为正值,首项a1=1/2,前n项和为Sn,且S30(2^10)-((2^10)+1)S20+S10=0.求
1{an}的通项公式
2{nSn}的前n项和Tn
一道等比数列的题目18设等比数列{an}的各项均为正值,首项a1=1/2,前n项和为Sn,且S30(2^10)-((2^10)+1)S20+S10=0.求1{an}的通项公式2{nSn}的前n项和Tn
S30=a1*(q^30-1)/(q-1)=a1(q^10-1)(q^20+q^10+1)/(q-1)
S20=a1*(q^20-1)/(q-1)=a1(q^10-1)(q^10+1)/(q-1)
S10=a1*(q^10-1)/(q-1)
2^10*a1(q^10-1)(q^20+q^10+1)/(q-1)-(2^10+1)*a1(q^10-1)(q^10+1)/(q-1)+a1*(q^10-1)/(q-1)=0
2^10*(q^20+q^10+1)-(2^10+1)(q^10+1)+1=0
2^10*q^20+2^10*q^10+2^10-2^10*q^10-2^10-q^10-1+1=0
2^10*q^20-q^10=0
所以q^10=1/2^10
各项均为正值
q>0
q=1/2
an=1/2*(1/2)^(n-1)=(1/2)^n
Sn=1/2*[1-(1/2)^n]/(1-1/2)=1-(1/2)^n
nSn=n-n*(1/2)^n
Tn=[1-1*(1/2)]+[2-2*(1/2)^2]+……+[n-n*(1/2)^n]
=1+……+n-[1*(1/2)+2*(1/2)^2+……+n*(1/2)^n]
令x=1*(1/2)+2*(1/2)^2+……+n*(1/2)^n
2x=1+2*(1/2)+……+n*(1/2)^(n-1)
x=2x-x=1+1*(1/2)+1*(1/2)^2+……+1*(1/2)^(n-1)-n*(1/2)^n
=1*[1-(1/2)^n]/(1-1/2)]-n*(1/2)^n
=2-2*(1/2)^n-n*(1/2)^n
=2-(n+2)(1/2)^n
所以Tn=1+……+n-x
=n(n+1)/2-2+(n+2)(1/2)^n