已知f(x)=2^x可以表示成一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)之和,若关于x的不等式ag(x)+h(2x)>=0对于x属于【1,2】恒成立,则实数a的最小值是?
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/22 01:32:43
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已知f(x)=2^x可以表示成一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)之和,若关于x的不等式ag(x)+h(2x)>=0对于x属于【1,2】恒成立,则实数a的最小值是?
已知f(x)=2^x可以表示成一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)之和,若关于x的不等式ag(x)+h(2x)>=0对于x属于【1,2】恒成立,则实数a的最小值是?
已知f(x)=2^x可以表示成一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)之和,若关于x的不等式ag(x)+h(2x)>=0对于x属于【1,2】恒成立,则实数a的最小值是?
f(x)=g(x)+h(x)
f(-x)=g(-x)+h(-x)=-g(x)+h(x)
g(x)=[f(x)-f(-x)]/2=[2^x-2^(-x)]/2
h(x)=)=[f(x)+f(-x)]/2=[2^x+2^(-x)]/2
Z(x)=ag(x)+h(2x)=1/2[ a 2^x+4^x-a/2^x+1/4^x)]>=0
Z(1)=1/2[1.5a+4.25]>0,--> a>=-4.25/1.5=-17/6
z(2)=1/2[3.75a+16+1/16]>=0,a>=-257/60
所以有a>=-17/6
g(x)=[2^x-2^(-x)]/2,h(x)=[2^x+2^(-x)]/2,
令t=t(x)=2^x-2^(-x)],则当1≤x
∴t=t(x)=2^x-2^(-x)]是[1,2]上的增函数,且t(1)≤t(x)≤t(2),,即t∈[3/2,15/4]...
全部展开
g(x)=[2^x-2^(-x)]/2,h(x)=[2^x+2^(-x)]/2,
令t=t(x)=2^x-2^(-x)],则当1≤x
∴t=t(x)=2^x-2^(-x)]是[1,2]上的增函数,且t(1)≤t(x)≤t(2),,即t∈[3/2,15/4]
ag(x)+h(2x)>=0即a[2^x-2^(-x)]/2+[2^2x+2^(-2x)]/2≥0,即a[2^x-2^(-x)]+[2^2x+2^(-2x)]≥0,
即a[2^x-2^(-x)]+[2^x-2^(-x)]^2+2≥0
故F(t)=t²+at+2≥0在t∈[3/2,15/4]时恒成立,下面分3种情况来解决:
(1)-a/2≤3/2①时,F(t)=t²+at+2在t∈[3/2,15/4]是增函数,只要F(3/2)≥0②即可,由①②解出;
(2)-a/2≥15/4③时,F(t)=t²+at+2在t∈[3/2,15/4]是减函数,只要F(15/4)≥0④即可,由③④解出;
(3)3/2<-a/2<15/4⑤时,F(-a/2)最小,只要F(-a/2)≥0⑥即可,由⑤⑥解出;
合并(1)、(2)、(3)的结果……
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