求证:不论x取什么实数,多项式(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1的值是非负数
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/21 11:13:13
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求证:不论x取什么实数,多项式(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1的值是非负数
求证:不论x取什么实数,多项式(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1的值是非负数
求证:不论x取什么实数,多项式(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1的值是非负数
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1
=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1
=(x^2+5x+5-1)(x^2+5x+5+1)+1
=(x^2+5x+5)^2-1+1
=(x^2+5x+5)^2
>=0
不论x取什么实数,多项式(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1的值是非负数
=【(x+1)(x+4)】【(x+2)(x+3)】+1
=【x^2+5x+4】【x^2+5x+6】+1
=【(x^2+5x+5)-1】【(x^2+5x+5)+1】+1
=(x2+5x+5)^2-1+1
=(x2+5x+5)^2
∵ 任何数的平方都≥0
∴ 不论x取什么实数,多项式(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1的值是非负数
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1
=(x+1)(x+4)(x+3)(x+2)+1
=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1
令x2+5x=t
原式=(t+4)(t+6)+1
=t2+10t+25
=(t+5)2>=0
所以(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1的值是非负数
证明:
∵ 原式=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1
=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1
=(x²+5x+5-1)(x²+5x+5+1)+1
=(x²+5x+5)²-1+1
...
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证明:
∵ 原式=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1
=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1
=(x²+5x+5-1)(x²+5x+5+1)+1
=(x²+5x+5)²-1+1
=(x²+5x+5)²≥0
∴ x∈R,(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1≥0恒成立,即:
不论x取什么实数,多项式(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1的值是非负数
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