已知f(x)=-2cos^2x-2√2sinx+2的定义域为R (1)求F(X)的值域 (2) 在区间[-π/2,π/2],fx=3,求sin(2x+π/3)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/17 07:07:16
![已知f(x)=-2cos^2x-2√2sinx+2的定义域为R (1)求F(X)的值域 (2) 在区间[-π/2,π/2],fx=3,求sin(2x+π/3)](/uploads/image/z/8572799-47-9.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5f%28x%29%3D-2cos%5E2x-2%E2%88%9A2sinx%2B2%E7%9A%84%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%9F%9F%E4%B8%BAR+%281%29%E6%B1%82F%EF%BC%88X%EF%BC%89%E7%9A%84%E5%80%BC%E5%9F%9F+%282%29+%E5%9C%A8%E5%8C%BA%E9%97%B4%5B-%CF%80%2F2%2C%CF%80%2F2%5D%2Cfx%3D3%2C%E6%B1%82sin%282x%2B%CF%80%2F3%29)
已知f(x)=-2cos^2x-2√2sinx+2的定义域为R (1)求F(X)的值域 (2) 在区间[-π/2,π/2],fx=3,求sin(2x+π/3)
已知f(x)=-2cos^2x-2√2sinx+2的定义域为R (1)求F(X)的值域 (2) 在区间[-π/2,π/2],fx=3,求sin(2x+π/3)
已知f(x)=-2cos^2x-2√2sinx+2的定义域为R (1)求F(X)的值域 (2) 在区间[-π/2,π/2],fx=3,求sin(2x+π/3)
第一个问题:
f(x)=-2(cosx)^2-2sinx+2=2(sinx)^2-2sinx=2(sinx-1/2)^2-1/2.
∴当sinx=1/2时,f(x)有最小值,且最小值为-1/2.
当sinx=-1时,f(x)有最大值,且最大值为2(-1-1/2)^2-1/2=9/2-1/2=4.
∴函数的值域是[-1/2,4].
第二个问题:
由f(x)=3,结合第一个问题的解答过程,有:2(sinx-1/2)^2-1/2=3,
∴2(sinx-1/2)^2=7/2,∴(sinx-1/2)^2=7/4,
∴sinx-1/2=√7/2,或sinx-1/2=-√7/2,
∴sinx=(1+√7)/2,或sinx=(1-√7)/2.
很明显,(1+√7)/2>(1+√4)/2=3/2>1,∴sinx=(1+√7)/2是不合理的,应舍去.
于是,sinx=(1-√7)/2<0.
∵x∈[-π/2,π/2],∴由sinx<0,得:x∈(-π/2,0),
∴cosx=√[1-(sinx)^2]=√[1-(1-√7)^2/4]=(1/2)√(2√7-4).
∴sin(2x+π/3)
=sin2xcos(π/3)+cos2xsin(π/3)
=sinxcosx+(√3/2)[1-2(sinx)^2]
=[(1-√7)/2][(1/2)√(2√7-4)]+(√3/2)-√3[(1-√7)/2]^2
=(1/4)(1-√7)√(2√7-4)+√3/2-(1/2)√(6√7-12).