定义在(0,π/2)上的函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(π/6)=1/2 f(x)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/24 19:01:06
![定义在(0,π/2)上的函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(π/6)=1/2 f(x)](/uploads/image/z/8638311-39-1.jpg?t=%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%9C%A8%280%2C%CF%80%2F2%29%E4%B8%8A%E7%9A%84%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%E7%9A%84%E5%AF%BC%E5%87%BD%E6%95%B0%E4%B8%BAf%27%28x%29%2C%E4%B8%94%E6%BB%A1%E8%B6%B3f%28%CF%80%2F6%29%3D1%2F2+f%28x%29)
定义在(0,π/2)上的函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(π/6)=1/2 f(x)
定义在(0,π/2)上的函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(π/6)=1/2 f(x)
定义在(0,π/2)上的函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(π/6)=1/2 f(x)
因为x∈(0,π /2 ),所以sinx>0,cosx>0.由f(x)<f′(x)tanx,得f(x)cosx<f′(x)sinx.即f′(x)sinx-f(x)cosx>0.令g(x)=f(x) /sinx x∈(0,π/2 ),则g′(x)=[f′(x)sinx−f(x)cosx ]/sin2x >0.所以函数g(x)=f(x) /sinx 在x∈(0,π/2 )上为增函数,
f(π/6)=1/2,sinπ/6=1/2,
f(π/6)/sinπ/6=1
要使f(x)>sinx必有f(x)/sinx>1 ,sinx>0
所以x的区间是(π/6,π/2)
f(x)
(f(x)/sinx)'=(f'(x)sinx-f(x)cosx)/sinx^2>0
所以 f(x)/sinx 在定义域里单调递增
当 x>π/6时,f(x)/sinx>f(π/6)/sinπ/6=(1/2)/(1/2)=1, 于是 f(x)/si...
全部展开
f(x)
(f(x)/sinx)'=(f'(x)sinx-f(x)cosx)/sinx^2>0
所以 f(x)/sinx 在定义域里单调递增
当 x>π/6时,f(x)/sinx>f(π/6)/sinπ/6=(1/2)/(1/2)=1, 于是 f(x)/sinx>1, f(x)>sinx
当 x<=π/6时,f(x)/sinx
收起
令g(x)=f(x)-sinx
g'(x)=f'(x)-cosx ;因为f'(x)>f(x)cot x;所以g'(x)>0;所以g(x)单调递增,因为g(π/6)=0;
所以解集为(π/6,π/2)