作业帮设而不求
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 19:04:36
设而不求
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设而不求
(1)易得E:x²/2+y²/4=1.
(2)A(0,2),设B(x1,y1),C(x2,y2).
显然,BC斜率不为0,故设BC:x=ky+m,易知A点不在BC上.
联立BC、E,得(2k²+1)y²+4kmy+2m²-4=0.
由韦达定理,得y1+y2=-4km/(2k²+1),y1y2=2(m²-2)/(2k²+1).①
又k1=(y1-2)/x1,k2=(y2-2)/x2.xi=kyi+m,i=1、2.
故k1k2=(y1y2-2(y1+y2)+4)/(k²y1y2+km(y1+y2)+m²)=1 .②
联立①、②,得m²+8km+12k²=0 .③
即(m/k)²+8m/k+12=0,得m/k=-2或-6,故m=-2k或m=-6k.
分别代入BC：
若m=-2k,则BC：x=k(y-2),其过定点(0,2),与A点不在BC上矛盾.
若m=-6k,则BC：x=k(y-6),其过定点(0,6),经检验,满足.
综上,BC过定点(0,6).
(3)由(2)知BC:x=k(y-6),与E联立,得：
(2k²+1)y²-24k²y+72k²-4=0.
△=16(1-16k²)＞0,得k∈(-1/4,1/4).
|y1-y2|=√△/a=4(√(1-16k²))/(2k²+1).
|BC|=√(k²+1)|y1-y2| (这里k不是斜率,相当于斜率的倒数,故为k²+1而不是1/k²+1)
设d为A到BC的距离,则d=|4k|/√(k²+1).
S△ABC=1/2×d×|BC|=8(|k|√(1-16k²))/(2k²+1)
S²=64k²(1-16k²)/(2k²+1)²
=(32/9)18k²(1-16k²)/(2k²+1)²
≤(32/9)((18k²+1-16k²)/2)²/(2k²+1)²
=8/9 (当且仅当18k²=1-16k²,即k²=1/34时取等号)
则Smax=2√2/3.